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Lagrangeの未定乗数法を用いて最大値.最小値を求める問題です。

mti********さん

2011/1/400:18:38

Lagrangeの未定乗数法を用いて最大値.最小値を求める問題です。

C : x^2+y^2-1=0のもとで、f(x,y)=x+2yの最大値と最小値を求める問題を考えています.

色々、調べてみたのですがなかなか詳しく載っている本が無く、
独学で理解することが僕には難しいため、長文で申し訳ないのですが
よろしくお願いします。


解答の流れとしては、

1.Cは有界閉集合であり、fはC上連続なので必ず最大値、最小値をとる
→理解

2.Lagrangeの未定乗数法により、極値をとる候補を求める.
→理解

3.2で得た候補点は(x,y)=(1/√5, 2/√5), (-1/√5, -2/√5) であり、このとき,
f(1/√5, 2/√5)=√5, f(-1/√5, -2/√5)=-√5
→理解

4.よって、最大値は√5, 最小値は-√5
→?

3まではわかるのですが、なんで4の結論を得るかがわかりません.
自分なりには、以下の疑問に答えていただけると理解できると思っております。
的外れな場合は指摘いただけると幸いです。

(質問a)
1の条件を満たした場合、「最大、最小となる点」は必ず
「Lagrangeの方法による極値の候補点のいずれか」に含まれているのでしょうか?

(質問b)
「2変数関数f(x,y)が(a,b)で最大となるならば(a,b)で広義の極大となる」
は真でしょうか?

(質問c)
Lagrangeの未定乗数法で得られる点は
「広義の極大,極小を取る候補点」でしょうか?
それとも
「狭義の極大,極小を取る候補点」でしょうか?

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ts3********さん

編集あり2011/1/412:47:57

質問a
条件 C(x,y)=0 のもとで f(x,y) の最大値や極値を求めるためのラグランジュの方法では、通常
連立方程式
C(x,y)=0
f_x(x,y)+λC_x(x,y)=0
f_y(x,y)+λC_y(x,y)=0
を解きますね。
ふつうは、この解である (x,y) のいずれかに含まれます。

C(x,y)=0 かつ C_x(x,y)=C_y(x,y)=0 となる点がある場合は、その点でもしかすると最大値や極値をとっているかもしれないので注意が必要です。このことにも注意して計算を進めるなら、最大、最小となる点は必ず「ラグランジュの方法による極値の候補点のいずれか」に含まれます。

質問b
広義の極大の定義と最大となる点の位置によります。
「広義の極大」の定義が、「点 (a,b) の近傍で f(x,y)>=f(a,b) が成り立つ」というのであり、最大となる点 (a,b) が定義域の内点であるならば、最大値の定義は定義域全体で f(x,y)<=f(a,b) が成り立つことですから、当然、最大となるならば広義の極大になります。
最大となる点 (a,b) が定義域の境界上のときは、首を傾げるしかありません。そもそも、広義の極大の定義は何なのでしょうか。

質問c
質問b ともかかわりますが、広義の極大とか、狭義の極大とか言ってみても始まりません。関数は非常に多種多様です。
単純に言えるものではありません。

はっきりしていることは、ラグランジュの未定乗数法で得られる点は

C_y≠0 ならば、 C(x,y)=0 から定められる陰関数 y=φ(x) を f(x,y) に代入した f(x,φ(x)) について
d/dx f(x,φ(x))=0 となる点
C_x≠0 ならば、 C(x,y)=0 から定められる陰関数 x=φ(y) を f(x,y) に代入した f(φ(y),y) について
d/dy f(φ(y),y)=0 となる点
C(x,y)=0, C_x(x,y)=0, C_y(x,y)=0 となる点

だということです。
偏微分可能性に関する適当な条件のもとでは、最大となる点は上記の点に必ず含まれます。

質問した人からのコメント

2011/1/6 12:03:48

降参 前回に続いてありがとうございまいした。
悩んだ末にようやく理解できました。

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