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Σx・e^[‐nx]が[0,1]で一様収束するか調べよ。 n=1~∞ です。 ...

dra********さん

2011/1/1911:46:46

Σx・e^[‐nx]が[0,1]で一様収束するか調べよ。

n=1~∞
です。


詳しく教えて下さい。
すいません。

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ベストアンサーに選ばれた回答

k03********さん

2011/1/1912:25:42

dragonspittu21ksさん

n=1~∞
S=Σx・e^[‐nx]が[0,1]で一様収束するか調べよ。

S=Σx・e^(-nx)=x{e^(-x)+e^(-2x)+e^(-3x)+...}
=xe^(-x)/(1-e^(-x))
0 < x
収束する??

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kda********さん

編集あり2011/1/1912:27:40

x∈(0,1]のとき、Σx・e^[‐nx]は初項xe^{-x}公比e^{-x}の無限等比級数だから、(0,1]の各点xで収束し、その極限は、

Σx・e^[‐nx]=x/(e^x-1)

である。(無限等比級数の極限を求める公式を使って計算する)

x=0のとき、明らかにΣx・e^[‐nx]は0である。

したがって、Σx・e^[‐nx]は[0,1]の各点xで関数

f(x)=x/(e^x-1) (0<x≦1)
f(x)=0 (x=0)

に収束する。
ここで関数f(x)は原点で不連続なことに注意する。(実際、lim_{n→+0}f(x)=1である。)

『連続関数の一様極限は連続関数である』ので、もしΣx・e^[‐nx]が[0,1]で一様収束しているならば、f(x)は連続関数でなくてはならない。しかし、f(x)は連続でない。
よって、Σx・e^[‐nx]は[0,1]で一様収束していない。

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