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3点O(0,0),A(4,0),B(2,2)を頂点とする三角形OABの面積を,直線y=m...

n_m********さん

2011/1/2317:54:01

3点O(0,0),A(4,0),B(2,2)を頂点とする三角形OABの面積を,直線y=mx+m+1が2等分するとき、定数mの値を求めよ。
解答は、m=3-2√5/11なのですが、
解き方がわかりません。
教えて下さい。お願いします。

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idl********さん

2011/1/2318:45:12

y=mx+m+1
mx+m+1-y=0
m(x+1)+1-y=0
なので、この直線はmの値にかかわらず、(-1,1)を通ります。
そして、△OABの高さは2だから、m=0のとき、三角形と四角形の
面積の比は1:3となり、mは負とわかります。

OBの式はy=x、ABの式はy=-x+4

y=mx+m+1とy=xの交点(Pとする)は、x=mx+m+1→x=(m+1)/(1-m)
なので、((m+1)/(1-m),(m+1)/(1-m))

y=mx+m+1とy=-x+4の交点(Qとする)は、-x+4=mx+m+1
→x=(3-m)/(m+1)なので、((3-m)/(m+1),(5m+1)/(m+1))

また、y=mx+m+1とx軸との交点(Rとする)は、(-(m+1)/m,0)
△OABの面積は4なので、△OPR-△AQR=2が成り立ちます。

(1/2)*{-(m+1)/m}*{(m+1)/(1-m)}-(1/2)*{-(m+1)/m -4}*(5m+1)/(m+1)}=2
-(m+1)^2/{m(1-m)}+(5m+1)^2/{m(m+1)}=4
m(1-m)(m+1)をかけて
-(m+1)^3+(5m+1)^2(1-m)=4m(1-m)(m+1)
-m^3-3m^2-3m-1+(25m^2+10m+1)(1-m)=4m-4m^3
-m^3-3m^2-3m-1+25m^2+10m+1-25m^3-10m^2-m=4m-4m^3
-22m^3+12m^2+2m=0
11m^3-6m^2-m=0
m(11m^2-6m-1)=0
m=0,m={6±√(36+44)}/22=(6±4√5)/22=(3±2√5)/11

ところで、m=0は不適、(3+2√5)/11>0なので、
∴m=(3-2√5)/11

質問した人からのコメント

2011/1/23 20:56:53

降参 ご丁寧にありがとうございました。
助かりました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

lov********さん

編集あり2011/1/2319:08:39

こんばんは。残念ながら、解答は間違っています。

m=0のとき、2等分しようとする直線はy=1で切片は1。m<0になると切片は1より小さくなり、また傾きが左下がりになるので、△OABを2等分し得ない。
したがって、m>0。
y=mx+m+1の切片はm+1で、その点をCとする。△OABを2等分するとき、線分ABと交わり、その交点をPとする。
△PAC=2という方程式を作るのに、ACの長さと、Pから直線ACまでの距離(→Pのx座標)が必要なので、点Pのx座標を求める。そのためには、
y=mx+m+1
と直線ABの式
y=-x+4
を連立方程式として解けばいいので、
mx+m+1=-x+4
mx+x=4-m-1
x(m+1)=3-m
x=(3-m)/(m+1) ←〔△PACの高さ〕
△OAB=4×2÷2=4
であるから、その半分は2である。
AC=4-(m+1)=3-mだから、△PAC=2に代入すると、
(3-m)×(3-m)/(m+1)÷2=2
(3-m)^2=4(m+1)
9-6m+m^2=4m+4
m^2-10m+5=0
(m-5)^2-25+5=0
(m-5)^2=20
m-5=±2√5
m<3より、
m=5-2√5 ←【答】

以上です。これからも数学がんばって下さい。

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