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私は今高校3年生で「座標軸を回転する重積分」を勉強しています。 問題文は ...

way********さん

2011/1/3006:42:46

私は今高校3年生で「座標軸を回転する重積分」を勉強しています。

問題文は
D={(x,y)|x^2+xy+y^2≦3,y≧x}
のとき、座標軸をπ/4回転することをよって次の2重積分の値を求めよ。

∬D(x-y)dxdy

とゆうのです。

公式
x=xcosα-ysinα
y=xsinα+ycosα
より、
二重積分する値は(-√2 y) だとわかったのですが、
範囲がわからないのです。

これがわかる方がいらっしゃいましたら範囲の出し方を教えてくださいませんか。

どうかお願いいたします!!

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ベストアンサーに選ばれた回答

pyc********さん

2011/2/113:30:05

45°回転を考えると、
α=π/4として、(x,y)→(x',y')の関係は、回転を表す行列の
公式から、
x'=x/√2-y/√2
y'=x/√2+y/√2
となって、逆行列を計算することにより、
x=x'/√2+y'/√2
y=-x'/√2+y'/√2
よって、D(x,y)→D(x',y')は、
(x'^2)/2+x'*y'+(y'^2)/2+-(x'^2)/2+(y'^2)/2+(x'^2)/2-x'*y'+(y'^2)/2≦3
-x'/√2+y'/√2≧x'/√2+y'/√2

(x'^2)/6+(y'^2)/2≦1
x'≦0

重積分の変換のヤコビアンは、
|1/√2....1/√2|
|-1/√2..1/√2|=1
なので、
∫∫[D] √2 x' dx' dy'

Dは楕円の左半分なので、
x'=r√6 cosθ
y'=r√2 sinθ
で変換すると、
r :0→1
θ: π/2→3π/2
したがって、
∫[r:0→1] ∫[θ:π/2→3π/2] √2*r√6cosθ (2√3 r)drdθ
=12∫[r:0→1] r^2 dr ∫[θ:π/2→3π/2] cosθ dθ
=12*(1/3)*2
=8

質問した人からのコメント

2011/2/1 15:40:15

降参
ご丁寧に回答していただきありがとうございました!!
納得しましたっ!
もっと解いてみます♪

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kyo********さん

2011/2/104:02:45

公式
x=xcosα-ysinα
y=xsinα+ycosα を代入するだけ。

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