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1+1が2になる理由。 高校の教師が昔 「入試で1+1が2なる理由を答えよ...

koh********さん

2011/3/2510:11:29

1+1が2になる理由。

高校の教師が昔
「入試で1+1が2なる理由を答えよ」という問題が出た。
という話をしていたのですが肝心の回答説明の内容をすっかり忘れてしまいました。
先程質問したら納得いく回答が得られなかったのでもう一度質問します。
どなたかわかりやすく説明していただける方はいらっしゃいませんか?
かなり難易度が高い問題だったという事だけ覚えているのですが…

これで回答がなかったら諦めますので連投をお許し下さい。

この質問は、活躍中のチエリアン・専門家に回答をリクエストしました。

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ベストアンサーに選ばれた回答

je_********さん

2011/3/2603:57:11

以前に同様の回答があったため抜粋します。

0.記号の説明
n∈Nは「nは集合Nの元」または「nは集合Nに含まれる」ことを意味し、X⊂Yは集合の包含関係、すなわち「XはYの部分集合」であることを表す。またf○gは「写像fと写像gの合成」を意味する。s(N)は「写像sによるNの像」を表す。

1.自然数の体系
まず、自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。
集合N、その中の一つの元0(今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「1+1=2」の証明には何ら差し支えない)、および写像 s:N→N の組 (N,0,s) が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ:
(P1) s:N→Nは単射である。
(P2) 0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0
(P3) S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S(すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S)ならば、S=Nである。

これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。
新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。
[12]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0
2.帰納的定義の原理
以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。

【定理1】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t:X→Xとが与えられたとする。その時次の性質(1)(2)を持つような写像f:N→Xがただ一つ存在する:
(1) f(0)=x
(2) 全てのn∈Nに対して f(s(n))=t(f(n))

(証明)本来これが全てのよりどころなので、証明すべきであろうが、あまりにも長く難解なので、証明はfiubengaさんの言うとおり本に譲りましょう。

この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。

3.自然数の加法
定理1を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。

【定理2】mを与えられた自然数とするとき、
(A1) f_m(0)=m
(A2) f_m○s=s○f_m
を満たす写像f_m:N→Nが一意に存在する。

(証明)定理1においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。(終)

任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く(この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく)。条件(A1)(A2)によって
① m+0=m
② m+s(n)=s(m+n)
である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して
③ 0+n=n
である。さらに少々面倒な計算の後
④ s(m)+n=s(m+n)
も導ける。これら①から④によって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち

【定理3】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。

(証明)上記①から④によるが、少々長くなるので文献におまかせ。

[13]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0
4.「1+1=2」の証明
上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「1+1=2」の何を示したいのかを考えておく。それは、
(*)『「1」の後継者が集合Nのなかに存在する』
ということである。「2」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「2」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。

さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「1」という記号で表せば、①②によって
⑤ s(n)=n+1
である。すなわち『後継者写像sは、“「1」を「加える」写像”n→n+1 に他ならない』のである。

ここまでくれば「1+1=2」を示すことが出来る。
s(1)、つまり「1の後継者」を「2」という記号で表せば⑤より
s(1)=1+1
∴ 2=1+1 (証明終)

質問した人からのコメント

2011/3/27 04:41:54

降参 皆様とても詳しく丁寧なご説明ありがとうございました。ペアノ公理から詳しく分かりやすく解説して下さったのでje_suis_modesteさんをベストアンサーとさせていただきます。実はこれ旦那のエピソードでして…旦那に見せたら、それっ!と言われたので(;^_^A文系な私にはやはり難解でした。これを元にさらに解説して貰います。他の解答者様もありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

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eva********さん

編集あり2011/3/2601:03:53

自然数を定義し直す。


ペアノ公理
PA1、1∈N

PA2、∀n∈N[n′∈N]

PA3、∀n∈N[n′≠1]

PA4、∀m∈N ∀n∈N[m′=n′⇒m=n]

PA5、(P(1)∧∀k∈N[P(k)⇒P(k′)])⇒∀n∈N[P(n)]

′は後続数を表す記号とします。


PA1、1は自然数である。または、1は自然数に属する

PA2、どのような自然数nに対しても、n′は自然数である

PA3、どのような自然数nに対しても、n′≠1が成り立つ。

PA4、どのような自然数m、nに対しても、m′=n′ならばm=nである

PA5、自然数nに関する述語P(n.)で、(A)と(B)が成り立つとする。
(A)P(1)である
(B)どのような自然数kに対しても、P(k)ならばP(k′)である。このとき、どんな自然数nに対しても、P(n)が成り立つ。


かくのごとき数を自然数と呼ぶ

そして、2を1′と定義する。



演算+を定義し直す

ADD1 ∀n∈N[n+1=n′]
ADD2 ∀m∀n∈N[m+n′=(m+n)′]



ADD1 どんな自然数nに対してもn+1=n′が成り立つ

ADD2 どんな自然数m、nに対しても、
m+n′=(m+n)′

かくのごとき演算を+とする


よって、1+1=2と定義する

sio********さん

2011/3/2510:49:09

自然数に0を含めた集合を改めて自然数と定義しなおす。
どの自然数xにも次の自然数x’が存在する。
0より前の自然数は存在しない。
すると、自然数は、0,1,2,3・・・と並ぶ集合になる。
自然数x、yに対し、x’=y’ならばx=yであるとする。
自然数xに関する命題P(x)について、「P(0)は真」と「P(x)が真ならば、P(x’)も真」が成り立つならば、任意の自然数xについてP(x)が真である、とする。
(ここまでがペアノの公理)

任意の自然数xについて、x+0=xと定義する。
任意の自然数x、yについて、x+y’=(x+y)’と定義する。
(ここまでが和の定義)

今、x=1、y=0のときを考える。
1+0’=(1+0)’
0’=1、(1+0)’=1’=2だから、
1+1=2

(証明終了)

wat********さん

2011/3/2510:30:48

・自然数には1が含まれる。
・任意の自然数には,その次の数が存在する。
・1の次の数を2と定める。
・自然数の足し算を次のようにさだめる。
x+1=(xの次の数), x+(yの次の数)=((x+y)の次の数
以上のことから,1+1=(1の次の数)=2となります。

hgj********さん

2011/3/2510:28:22

これをきちんととくには、「2とは」、「1とは」の定義をしないと無理ではないでしょうか?

たとえば、2進法なら、1+1=0ですよね?

10進法なら1の次の数が2、次の数とは1を加えることとすると、それ以上
なにもいえないような・・・・

個人的には、当時のその答え知りたいなぁ。。。

reo********さん

2011/3/2510:24:59

かなり難しい質問です,質問者が何を定義としどこまで厳密に証明を要求しているのか

参考までにhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0を見てください。

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