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数学関連のサイトに、f(x)を x-1 で割ると 7 余り、x+2 で割ると -2 余る。...

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ID非公開さん

2005/9/1911:38:10

数学関連のサイトに、f(x)を x-1 で割ると 7 余り、x+2 で割ると -2 余る。f(x)を(x-1)(x+2)で割った時の余りは?
という問題があり、回答が 3x+4 となっていたのですが、これでよいのでしょうか?
3x+4は、x-1、x+2でf(x)を割ったときの商が等しいとおいたとき、つまり商が3の時のf(x)だと思うのですが。
解き方が分かる方、お願いします。

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ID非公開さん

2005/9/1911:53:33

商は一緒ではありません
商をQ1,Q2,Q3

f(x)=(x-1)Q1(x)+7
f(x)=(x+2)Q2(x)-2
f(x)=(x-1)(x+2)Q3(x)+3x+4

になります
ここで
f(x)=(x-1)(x+2)Q3(x)+3x+4
=(x-1)(x+2)Q3(x)+3(x-1)+3+4
=(x-1)(x+2)Q3(x)+3(x-1)+7
=(x-1){(x+2)Q3(x)+3}+7

となるので
Q1=(x+2)Q3(x)+3という関係式が出ます

同じように
ここで
f(x)=(x-1)(x+2)Q3(x)+3x+4
=(x-1)(x+2)Q3(x)+3(x+2)-6+4
=(x-1)(x+2)Q3(x)+3(x-1)-2
=(x+2){(x-1)Q3(x)+3}-2
になるので

Q2=(x-1)Q3(x)+3となります
多分疑問に思われているところはここだと思います

解き方は
f(x)=(x-1)Q1(x)+7
f(x)=(x+2)Q2(x)-2
f(x)=(x-1)(x+2)Q3(x)+ax+b
と置きます
(x+1)(x+2)は2次式なので割ったときの余りは
1次式になります

ここで一番上の式にx=1を代入
f(1)=7
これを3番目の式に代入
f(1)=(1-1)(1+2)Q3(1)+a+b
になる
つまり
7=a+b

同様に2番目の式にx=-2を代入し計算
-2=f(-2)=(-2+1)(-2+2)Q3(-2)-2a+b
よって
-2=-2a+b

ここで出た2式を計算すると
a,bの値が出ます

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

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ID非公開さん

編集あり2005/9/1911:54:33

剰余の定理の理解が不足していると思われます.
この問題は高校1年の教科書の例題レベルなので一度教科書を参照してみてください.

この問題の場合,Pを割る数,Qを商,Rを余りとすると
f(x)=P(x)Q(x) + R(x)
と表せます.

(x-1)で割った時の余りが7なので
f(x)=(x-1)Q(x) + 7
これにx=1を代入するとf(1)=7です.
同様に
(x+2)で割った時の余りが-2なので
f(x)=(x+2)Q(x) -2
これにx=-2を代入するとf(-2)=-2です.

2次式(x-1)(x+2)で割った時の余りは1次式となります.これをax+bとすると
f(x)=(x-1)(x+2)Q(x) +ax+b

ここまでf(1)=7,f(-2)=-2であることが分かっているのでこれを代入すると‥‥

あとは中学生の連立方程式です.

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