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フーリエ級数の問題です。一切わからないので、わかる方教えてください。

htn********さん

2011/5/2414:23:36

フーリエ級数の問題です。一切わからないので、わかる方教えてください。

(1)区間−π、πで、
f(x)=x^2 +2x +3|x| と定義されるf(x)をフーリエ級数展開せよ。

ヒントとして、x^2 +3|x|偶関数、2x奇関数に分けて考える。とありました。

(2)f(x)は周期2πの区分的に連続な周期関数で、区間−π、πにおいて、
f(x)=−1 (−π≦x<0)、1(0≦x≦π) である。
f(x)をフーリエ級数展開せよ。

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ベストアンサーに選ばれた回答

see********さん

2011/5/2416:51:30

(1)f(x)=x^2+2x+3|x| (-π≦x<π)
x^2+3|x|は偶関数、2xは奇関数なので
a0=2/π∫<0→π>(x^2+3x)dx
=2/π[x^3/3+3x^2/2]<0→π>
=2/π(π^3/3+3π^2/2)
=2(π^2/3+3π/2)
=(2π^2+9π)/3

an=2/π∫<0→π>(x^2+3x)cosnxdx
=2/π[(x^2+3x)・1/nsinnx]<0→π>-2/(nπ)∫<0→π>(2x+3)sinnxdx
=2/(nπ)[(2x+3)・1/ncosnx]<0→π>-2/(n^2π)∫<0→π>2cosnxdx

∫<0→π>cosnxdx=0で
計算は無駄なので略
=2/(nπ){(2π+3)/ncosnπ-3/n}
=2/(n^2π){(2π+3)(-1)^n-3}

bn=2/π∫<0→π>2xsinnxdx
=2/π[2x・-1/ncosnx]<0→π>+2/(nπ)∫<0→π>2cosnxdx
=2/π(-2π/ncosnπ)
=-4(-1)^n/n

よって
(2π^2+9π)/6+Σ<n=1→∞>[2/(n^2π){(2π+3)(-1)^n-3}cosnx-4(-1)^n/nsinnx]


(2)f(x)=-1(-π≦x<0),1(0≦x≦π)

奇関数なのでa0=an=0

bn=2/π∫<0→π>sinnxdx
=2/π[-1/ncosnx]<0→π>
=2/(nπ)(1-(-1)^n)

よって
Σ<n=1→∞>[2/(nπ)(1-(-1)^n)sinnx]

質問した人からのコメント

2011/5/26 02:05:45

降参 ありがとうございます!!

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