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正則行列,零因子,べき零行列の判定

pon********さん

2011/5/2902:50:00

正則行列,零因子,べき零行列の判定

行列A=[1 -1_1 -1],B=[1 2_3 6],C=[1 2_3 4]について、正則行列,零因子,べき零行列であるかを判定せよ。
・表記の説明…[第1行_第2行]

正則行列の定義から、行列Xが逆行列を持つ⇒Xは正則行列と言えるので
正則行列であるかは、ad-bcが0か0でないかを確かめるといいことはわかりました。

次に、
「零因子は逆行列を持たない」の対偶、「逆行列をもつ⇒零因子でない」
「べき零行列は零因子である」の対偶、「零因子でない⇒べき零行列でない」
は証明無しで用いてよいのでしょうか?
よいのであれば、Cは「正則〇,零因子×,べき零×」となりました。

残りA,Bですが、
どんな2次行列でも、べき零を考える時はケーリーハミルトンの定理を使えばよいのでしょうか?
Aの場合はたまたま2乗したらべき零行列とわかり、「べき零行列は零因子である」という定理から零因子であることもわかりましたが、これはたまたまですよね・・・?100乗くらいしししてやっとべき零行列だとわかるような行列もあるかもしれませんし・・・。

残り、Bの解法が思いつきません。
長くなりましたのでもう1つ質問を立てさせていただきます。
Bについてはそちらにお願いします。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=146...

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k_a********さん

2011/5/2904:39:39

直観主義論理じゃあるまいし、
対偶を証明に使っても文句は言われないでしょう。
ただし、「対偶をとると」などと断った方がよいでしょうね。
一見して対偶をとったことが分かりにくい場合がありますから。

正則であれば、零因子にもべき零にもなりませんので、
Cに関しては正則性が分かった時点で他を排除できます。

一方、正則でない行列は必ず零因子になります。
AとBの行列式 ad - bc を計算すると、どちらも0となって
正則でないことが分かるので、零因子になります。

最後に、n次行列がべき零かどうかを判定するときは、
n乗までを考えれば十分です。
この問題では、A^2 = O かどうかを判定するだけです。

質問した人からのコメント

2011/6/4 18:55:45

どこまで証明すべきかが、いまいちわからないんですよね…汗
回答ありがとうございました。

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