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A[1]=3 , (n+1)A[n+1]=A[n]^2-1によって定められる数列{A[n]}の一般項を推測し、...

まいさん

2011/6/1520:16:10

A[1]=3 , (n+1)A[n+1]=A[n]^2-1によって定められる数列{A[n]}の一般項を推測し、それを数学的帰納法を用いて証明せよ。


この問題で
一般項は
A[n]=n+2と推測できると思うんですが、証明のやり方がわかりません。

教えてください><

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ベストアンサーに選ばれた回答

to_********さん

2011/6/1521:58:52

a[1]=3
(n+1)*a[n+1]={a[n]}^2-1 ・・・①

n=1 のとき、
2*a[2]={a[1]}^2-1
2*a[2]=9-1
a[2]=4

n=2 のとき、
3*a[3]={a[2]}^2-1
3*a[3]=16-1
a[3]=5

以上より、
a[n]=n+2 と推測できる



(1) n=1 のとき、
a[1]=1+2=3 となり、成り立っ

(2) n=k のとき、成り立っと仮定すると、
a[k]=k+2 ・・・②

ここで、①に、n=kを代入して、
(k+1)*a[k+1]={a[k]}^2-1
これに②を代入して、
(k+1)*a[k+1]=(k+2)^2-1
(k+1)*a[k+1]=k^2+4k+3
(k+1)*a[k+1]=(k+3)(k+1)
a[k+1]=k+3
a[k+1]=(k+1)+2

したがって、n=k+1のときも成り立っ


(1),(2)より、
全ての自然数nに対して、
a[n]=n+2



以上です。



質問した人からのコメント

2011/6/16 00:49:42

感謝 分かりやすくありがとうございました^^

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