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デデキント切断の問題です。解いたのですが解答がなく困ってます。

scu********さん

2011/7/1800:26:52

デデキント切断の問題です。解いたのですが解答がなく困ってます。

次のうち, (A, B) が S のデデキント切断になっているものをすべて選び, 記号で答えよ.
ア S = N について, A = {a ∈ S|a < 10}, B = {b ∈ S|10 < b}
イ S = N について, A = {a ∈ S|a <3/2}, B = {b ∈ S|3/2< b}
ウ S = Q について, A = {a ∈ S|a <3/2}, B = {b ∈ S|3/2< b}

よろしくおねがいします。

Nは自然数、Qは有理数です。

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ベストアンサーに選ばれた回答

you********さん

2011/7/1801:18:27

Nは自然数全体からなる集合、Qは有理数全体ならなる集合として、回答します。

全順序集合Sについて、(A, B)がSのデデキント切断となるとは
(1) A, B⊂S
(2) S=A∪B
(3) A≠φ かつ B≠φ
(4) 任意のa∈A, 任意のb∈Bに対して、a<b
がすべて成り立つことです。

■ アは、デデキント切断ではありません。
10はSの元ですが、Aの元でもBの元でもないのでA∪Bの元ではなりません。
よって、S≠A∪B
したがって、(2)が成り立たないので、デデキント切断ではありません。

■ イは、デデキント切断です。
S=Nのなので、A={a∈N|a≦1}, B={b∈N|2≦b}となります。
よって、
(1) A, B⊂S
(2) S=A∪B
(3) A≠φ かつ B≠φ
が成り立ち、
(4)については
任意のa∈A, b∈Bに対して
a≦1<2≦bなので、a<b
となるので成り立ちます。
したがって、(A, B)はSのデデキント切断です。

■ ウは、デデキント切断ではありません。
3/2はSの元ですが、Aの元でもBの元でもないのでA∪Bの元ではなりません。
よって、S≠A∪B
したがって、(2)が成り立たないので、デデキント切断ではありません。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

山元さん

2011/7/1801:05:54

一応、イがデデキント切断になってますね。

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