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【100枚】微分の問題です

tig********さん

2011/7/2921:04:26

【100枚】微分の問題です

y=log(tanx/2) を微分して下さい

解答を見ても意味が分かりません。猿でも分かるように説明して下さいm(__)m

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aka********さん

2011/7/2921:37:51

合成関数の微分公式を使います。
t=tanθ
θ=x/2
と置くと、
y=logt(t)
である。
合成関数の微分公式は
y´=dy/dx=dy/dt・dt/dθ.・dθ/dx

ところで、
dy/dt=1/t
dt/dθ=(1/cosθ)^2
dθ/dx=1/2

y´=1/t・1/cosθ・1/2
=1/2・1/tanθ・1/(cosθ)^2
=1/(2・sinθ・cosθ)

三角関数の倍角の公式
sin(2θ)=2sinθcosθ
であるから、

y´=1/sin2θ・・・(答)

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ysb********さん

2011/7/2921:24:15

y=log(tan(x/2))

y'={1/(tan(x/2)}{(tan(x/2))'} <-----合成関数の微分で
={1/(tan(x/2)}{(1/2)(sec(x/2))^2} <--------tanの微分
=(1/2){cos(x/2)/sin(x/2)}{1/(cos(x/2))^2} <------tan をsin,cos で
=(1/2){1/sin(x/2)cos(x/2)} <-------cos の約分
=1/{2sin(x/2)cos(x/2)}
=1/sin(x) <--- 2倍角の公式を使い

zub********さん

2011/7/2921:20:48

まず、(logx) ' = 1/x 、(tanx)' = 1/(cosx)^2 、(f(g(x))) ' = g '(x)f '(g(x))
なのはよいでしょうか?これらは基本事項です。教科書を見れば証明が書いてあるでしょう。
f(x)=logx、g(x)=tan(x/2)とおくと
dy/dx=(f(g(x))) 'と表せますので3つ目の式より
=g '(x)f '(g(x))です。
ここでf '(x)=(logx) '=1/x 、g '(x) = (tan(x/2)) ' =1/2(cos(x/2))^2 ですので
dy/dx=(1/2(cos(x/2))^2)(1/tan(x/2))
=1/(2sin(x/2)cos(x/2))
=1/sinx
です。分からない部分があれば補足で質問してください。

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