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再度質問です。

kou********さん

2011/10/420:46:20

再度質問です。

nは3以上の整数とする。座標平面上のx座標、y座標がともに0からn-1間での整数であるようなn^2個の点のうちから、異なる2個の点(x1、y1)、(x2、y2)を無作為に選ぶ。このとき、
①x1≠x2かつy1≠y2である確率を求めよ。

②x1y+1=x2+y2である確率を求めよ。

maaam1129さんのベン図解法で解いてみたのですが、答えと合っていませんでした。
解答の答えは
(1)(n-1)/(n+1)
(2)(2n-1)/3n(n+1)となっていました。
どうしてこの解になるのでしょうか?
よろしくおねがいします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

maa********さん

2011/10/804:19:12

ごめんなさい、「異なる2個の点」というのを忘れておりました。前回の私の回答は、同一の点を取ることも出来る場合の回答です。前回の回答に若干手を加えましたので、以下をご覧下さい。

①異なる2個の点(x1, y1)、(x2, y2)を無作為に選ぶ方法は(n^2)^2=n^4通り。ベン図の長方形部分。なお、そのうち2個の点が一致する場合はn^2通りあるので、総数はn^4- n^2通り。
x1=x2となる集合をベン図の1つ目の○、y1=y2となる集合をベン図の2つ目の○とする。すると、x1=x2 かつy1=y2は2つの○が重複する部分、x1≠x2かつy1≠y2は長方形から○部分を除いた箇所となる。
ベン図の2つの○はそれぞれn^3通り存在し、重複部分はn^2通り存在する。そのうち2個の点が一致する場合がn^2通りあるので、異なる2個の点(x1, y1)、(x2, y2)においてx1≠x2かつy1≠y2となるのは(n^4-n^2)-(2n^3-n^2-n^2) = n^4-2n^3+n^2通り。
よって、その確率は(n^4-2n^3+n^2)/ (n^4-n^2) = n^2 (n-1)^2 / n^2 (n-1)(n+1) = (n-1)/(n+1)

②x1+y1=kとなるのは、k=<n-1ではk+1通り、n=<kでは2n-k-1
x1+y1=kを満たした上で、x2+y2=kとなるのはk=<n-1ではk通り、n=<kでは2n-k-2通り(点が一致する場合を除く必要があるため)
つまり、x1+y1=x2+y2=kとなるのは、k=<n-1ではk(k+1)通り、n=<kでは(2n-k-1)(2n-k-2)通り
Kについて0から2n-2まで変化させた和は (k=0 to n-1)Σ k(k+1) + (k=n to 2n-2)Σ (2n-k-1)(2n-k-2) = (n-1)n(2n-1)/3となるので、x1+y1=x2+y2となるのは(n-1)n(2n+1)/3通り
よって、求める確率は(n-1)n(2n-1)/(3n^2(n-1)(n+1)) = (2n-1)/3n(n+1)

なお、前の回答者が記載しているように図を描くと「k=<n-1ではk+1通り、n=<kでは2n-k-1」がイメージ出来るかと思います。y=-x+kの直線上に何個の格子点(x座標もy座標も整数)が存在するかどうかを求めています。

質問した人からのコメント

2011/10/10 21:00:25

お二人様ありがとうございます。
ベンズを用いた解法、または数値を代入していくことで規則性を見つける方法、今後も自分のものにしていけるよう頑張ります。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

man********さん

編集あり2011/10/709:42:38

指名外で恐縮です。
(1)
(x1、y1)を点A、(x2、y2)を点Bとでもします。
求めたい確率は、点A(x1、y1)を適当に決めてその後に点Bをランダムに選ぶとしてx2≠x1かつy1≠y2となる確率ですね。求める事象の逆であるx2=x1またはy2=y1となる確率を求めて1から引いてみます。まず条件からAとBが重なることはありませんから、全体でBの選び方は(n^2-1)通りあります。x2=x1またはy2=y1となる点は(2n-2)個あるので、x2=x1またはy2=y1となる確率は(2n-2)/(n^2-1)=2/(n+1)
よって求める確率は
1-2/(n+1)=(n-1)/(n+1)

(2)
難しいですね、、、ゆっくり考えてみますと
x1+y1=0となるAは1通りで、条件を満たすBは0通り
x1+y1=1となるAは2通りで、条件を満たすBは1通り
x1+y1=2となるAは3通りで、条件を満たすBは2通り
規則性見えてきましたね。ようはx1+y1の値によってA、Bが何通りあるかがきまります。x1+y1=kとすると、そのとき題意のようになる確率は
{(k+1)/n^2}×{k/(n^2-1)}
ただしこれは0≦k≦n-1の範囲でです。kがこの値をこえると今度はA、Bの取り得るパターンが1ずつ減ってきます。図に書くと分かりやすいですが、増え方と減り方はk=n-1のラインで対象なので0≦k≦n-1でのx1+y1=x2+y2となる確率を求め、これを倍にしてやればよいですね。
kが0~n-1=mまで全てのパターンの足し合わせを行うと、
Σ{(k+1)/n^2}×{k/(n^2-1)}
これを2倍してやると答えになります。

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