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m,nは2以上の整数とする。                ㎥+1=n×n×n+1000 が成り立つ...

a_t********さん

2011/10/1817:19:24

m,nは2以上の整数とする。               
㎥+1=n×n×n+1000
が成り立つm,nの値を求めよ。

制限時間は10月18日末まで。

一番最初の正解者にはなんと!

それは、正解して

からのお楽しみ

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ベストアンサーに選ばれた回答

ju_********さん

2011/10/1817:49:03

m = 12 , n = 9

12^3 + 1 = 1728 + 1 = 1729,
9^3 + 1000 = 729 + 1000 = 1729
よって成り立ちます。

質問した人からのコメント

2011/10/19 07:31:49

成功 一番最初の正解者と言ってしまったので、あなたに“コイン100枚”を
プレゼント致します( ̄^ ̄)ゞ

もう一人の方も、丁寧な解説素晴らしかったです(^-^)/

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

tar********さん

2011/10/1818:03:43

mの3乗を「m^3」のように表すことにします

m^3 + 1 = n^3 + 10^3 なのですから
m^3 - n^3 = (m-n)(m^2+nm+n^2) = 999 です
m^2+nm+n^2 > 0ですからm-n > 0
m-nもm^2+nm+n^2も正の整数ですから, どちらも999の約数です
999 = 3^3*37 なので, 約数のペアは次の4通りしかありません
(1, 999), (3, 333), (9, 111), (27, 37)

さてm-n = pのとき
m^2+nm+n^2 = m^2+(m-k)m+(m-k)^2
= 3m^2-3pm+p^2 = (999/p)
が成り立ちます
このとき
二次方程式3m^2-3pm+(p^2-999/p) = 0の判別式Dは
D = 9p^2-12(p^2-999/p) = 3(3996/p - p^2)
よって
m = (3p±√D)/6

これからm, nを求めますが
m-n > m^2+nm+n^2ですからm-n≦27の範囲だけ調べればよいです

m-n = 1のときD = 3(4*999-1) = 3*3995
3995は3の倍数ではないのでm = (3±√D)/6は整数になりません

m-n = 3のときD = 3(4*333-9) =3*3*3*(4*37-1) = (3^2*7)^2
m = (9±√D)/6 = (9±63)/6 = 12, -9
m > 2よりm = 12, n = 9

m-n = 9のときD = 3(4*111-81) = 3*3*(4*37-27) = (3*11)^2
m = (27±√D)/6 = (27±33)/6 = 10, -1
m > 2よりm = 10, n = 1
n > 2より適しません

m-n = 27のときD = 3(4*37-3^6)
4*37-3^6は3の倍数ではないので√Dは整数にはならない
したがってmも整数になりません

結局, m, nは
(m, n) = (12, 9) しかありません

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