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座標平面のP(p,q)からy=x^2へ引いた2本の接線の接点をA(a,a^2)B...

jes********さん

2011/12/2223:32:48

座標平面のP(p,q)からy=x^2へ引いた2本の接線の接点をA(a,a^2)B(b,b^2)とする。ただしa<bとする。 直線PAとPBと放物線で囲まれる面積Sとする。S=18をみたしながらPが動くときその軌跡を求めよ。お願いします。

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to_********さん

2011/12/2300:55:10

C:f(x)=x^2
f'(x)=2x

C上の点(t,t^2)における接線Lは、
L:y=2t(x-t)+t^2
y=2tx-t^2

Lが(p,q)を通るとき、
q=2tp-t^2
t^2-2pt+q=0 ・・・①

(p,q)からCへの接線が2本ひけるのであれば、
①が異なる2つの実数解tをもてばよいので、
①の判別式が正になる

よって、
p^2-q>0
∴ q<p^2 ・・・②

また、
a,bは、①の2解であるから、
解と係数の関係より、
a+b=2p
ab=q

よって、
面積に関する条件より、
(1/12)(b-a)^3=18
(b-a)^3=18*12
(b-a)^3=6^3
(b-a)^2=6^2
(a+b)^2-4ab=36
4p^2-4q=36
p^2-q=9
q=p^2-9 ・・・③

③上の点は、全て②を満たすので、
求めるPの軌跡は、放物線 y=x^2-9 ・・・解答



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