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幾何学の問題です。 離散距離空間では、点列コンパクトであることと有限集合であ...

kgb********さん

2012/1/2816:56:09

幾何学の問題です。
離散距離空間では、点列コンパクトであることと有限集合であることを示せ。
よろしくお願いします。

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cli********さん

編集あり2012/1/2905:34:04

(X,d)を離散距離空間とする。

〔Xが有限集合〕
Xが有限集合ならば、Xの任意の点列 {x_n} をとるとき、{x_n} は有限個の要素 P={p_1,p_2,…,p_m}, m≧1 からつくられている。点列 {x_n} について、いかなる ν∈N(自然数) をとっても、ν<n である n にたいして、x_n=p_μ∈P である p_μ が存在する。なぜならば、もし存在しなければ、有限個の要素を使っての点列にはならないから。点列 {x_n} から p_μ になる点だけを選んでいけば、これは p_μ に収束する部分列だから、Xは点列コンパクトである。

〔Xが無限集合〕
Xが無限集合ならば、可算個(可算無限個)の部分集合が存在する。このような部分集合の1個をAとするとき、AはNと全単射の写像f:N→Aで対応させ、f(n)=x_n とおくことでAはすべてが異なる要素の点列 {x_n} となる。Xは離散距離空間だから、この点列の異なる点 x_m と x_m' の距離は1である。したがって、{x_n} のいかなる部分列をとってもすべてが異なる要素の点列であり、異なる点どうしの距離は1となり、収束しない。したがって、Xは点列コンパクトではない。

以上の結果から、離散距離空間(X,d)において
Xは有限集合 ⇔ Xは点列コンパクト

質問した人からのコメント

2012/2/2 20:11:59

降参 ありがとうございました

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