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数学Ⅲ 極限 たとえば lim(x→2) xの分数関数 みたいな問題で だいたいは、分母...

ke_********さん

2012/2/1618:54:05

数学Ⅲ
極限
たとえば
lim(x→2) xの分数関数
みたいな問題で
だいたいは、分母分子どちらもx=2で0となり
0/0の不定形だから、(x-2)で分母分子を割って
極限を求めます

では
lim(x→2) x^3 / x^2 - 4
の場合はなぜ無限大になるのですか?
分母は0になり、分子は0とならないので
今までの問題とは形が違うわけですが
この問題の場合、なぜ無限大になるのでしょうか?

補足回答ありがとうございます。
x^3/(x^2-4)=x+2/(x+2)+2/(x-2)と分解することができる
というのがどうなっているのかがわかりません。

どういう変形をしたのでしょうか?

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

lak********さん

編集あり2012/2/1620:46:12

ke_ro_ro429さん、

細かい指摘になりますが、答えは±∞もしくは+∞だけを解とするならばx→2+0などの表記となっていると思います。

x^3/(x^2-4)=x+2/(x+2)+2/(x-2)と分解することができます。
これらの式に関して、x→2のとき、x+2/(x+2)→5/2という収束は理解できると思います。
残りの2/(x-2)については、グラフを描けばわかるとおり、x→2+0において+∞に発散し、x→2-0において-∞に発散します。
したがって、形式的にlim(x→2) x^3 / x^2 - 4=5/2±∞ということになります。

【補足に対する回答】
x^3を(x^2-4)でわってみれば、商がx、余りが4xとなります。すなわち、
x^3/(x^2-4)=x+4x/(x^2-4)です。
次に4x/(x^2-4)=4x/{(x+2)(x-2)}として部分分数分解をすれば、2/(x+2)+2/(x-2)が得られます。

質問した人からのコメント

2012/2/22 17:16:53

笑う 回答ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

ora********さん

2012/2/1619:14:13

(x→2)
というのはxを2に近づけるという意味で
x=2ではなく
x=1.9999999・・・・・・またはx=2.000000・・・・・・1
ということです
なので x^3≒8 また x^2-4=0.00000・・・・・・1
になります
したがって lim(x→2) x^3/x^2-4=8÷(0.00000・・・・・・1)=∞

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