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中国式剰余定理についての問題が分かりません

oka********さん

2012/2/1711:22:05

中国式剰余定理についての問題が分かりません

中国式剰余定理を使って環Z/120Zを環の直積に分解せよ。

また、それを使って、整数nで、
n≡1 (mod3)
n≡2 (mod5)
n≡3 (mod8)
となるものをすべて求めよ。

という問題が分かりません。
詳しく解答していただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

pal********さん

編集あり2012/2/1718:19:36

中国式剰余定理の問題は、次のように解きます。

まず、
a≡1 (mod 3) …①
a≡0 (mod 5) …②
a≡0 (mod 8) …③
を解きます。②③より、
a=40xと置けます。
40x≡1 (mod 3)
これを解くと、
x≡1 (mod 3)
a=40

次に
b≡0 (mod 3) …④
b≡1 (mod 5) …⑤
b≡0 (mod 8) …⑥
を解きます。④⑥より、
b=24x
とおけます。
24x≡1 (mod 5)
これを解くと、
x≡4 (mod5)
b=96

最後に、
c≡0 (mod 3)
c≡0 (mod 5)
c≡1 (mod 8)
を解きます。同様の手順で解くと、
c=105
となります。

よって、求める解は、
n≡a・1+b・2+c・3 (mod 120)
n≡40・1+96・2+105・3 (mod 120)
n≡547≡67 (mod 120)
となります。

環の直積分解は、
Z/3Z×Z/5Z×Z/8Z → Z/120Z
(f,g,h) → 40f+96g+105h
で与えられます。

質問した人からのコメント

2012/2/17 23:27:47

ありがとうございます!

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