ユークリッド幾何とは?

ユークリッド幾何とは?

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2本の平行線は永遠にまじわらないという公理にもとづいた幾何学(図形)です。学校で教えているのは,これです。

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ユークリッドが、著書「原論」で示したような、 学校で習う、ごく普通の「幾何学」(図形を扱う数学の分野)のことです。 「初等幾何」というときもありますが、これは、別にやさしいという意味ではなく(実は逆に問題を解くのが難しい時も^^)、基本的な図形の性質だけでなく、もっと別の手法を使ったり、目の付け所を根本的に変えたりした「座標幾何」「射影幾何」「代数幾何学」「位相幾何学」「微分幾何学」などに対する言葉で、 学校で習ったように、特定の点を通る、特定の直線の平行線は、1本ひけて、 フツ~の幾何学は、そういう、フツ~の世界を対象にしていますが、 そうでない「1本もひけない世界」「何本も引ける世界」を対象にした幾何学も あり、こういう変な^^幾何学をまとめて「非ユークリッド幾何学」といい、 それに対するフツ~の幾何学を表すときに「ユークリッド幾何学」と呼ばれる ことが多いようです。 「非ユークリッド幾何学」は、最初、何じゃこりゃ、そんなもんあるかい、と、 批判の対象になったりもしましたが、chatte rouguさんの書いてらっしゃるような、 曲がった面での幾何学と考えると、「ユークリッド幾何学」と矛盾しないことが 解り、今では、立派に、ちゃんとした「幾何学」の一分野になっています。 chatte rouguさんの図は、リーマン極平面とロバチェフスキー極平面の図が 逆になっているみたいですが、 「平行線が1本もひけない」バージョンが、リーマン幾何、球面などを平面とみなした幾何学で、 「平行線がたくさん(いくらでも)ひける」バージョンが、ロバチェフスキー・ボヤイの幾何学、馬の鞍のような、ある方向からみると、下に飛び出していて、それの垂直な方向から見ると上に飛び出しているような曲面を平面とみなした幾何学、 これらが、セットで「非ユークリッド幾何学」ということです。