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対数の真数は正でなければならない。では、0または負の場合を考えることはしない...

cra********さん

2012/3/619:56:00

対数の真数は正でなければならない。では、0または負の場合を考えることはしない理由は?

実数ならば、いかなるものでも、2乗したら、必ず0以上の実数になります。
2乗して負になる実数などあり得ません。

しかし、人間はあり得なくても、考えることはやめませんでした。
「ないなら作ろう」みたいな考え方で生まれたが「虚数」ですよね?
2乗して、負になってしまいます。
これにより、数学の世界はものすごく広がりました。

「a^p=M」⇔「p=log(a)M」

ですが、このとき、高校数学では、a>0かつa≠1ですが、
それ以外の場合では、何か新しい発見などできないのでしょうかね?

対数関数の時も、y=logx など、x≦0には値がありませんが、そういうのを考えるとなにもできないのですかね。。。


ちなみに、
(-2)^2=4
(-2)^3=-8
ですが、

(-2)^(1/2) とかは、どうにでもならないのですかね?

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ベストアンサーに選ばれた回答

s12********さん

2012/3/621:01:04

aを実数、iを虚数単位とすると指数法則によって
√a=a^(1/2)
また
±i=√(-1)=(-1)^(1/2)

なので、
指数法則をつかうと
(-2)^(1/2)=(-1)^(1/2)×2^(1/2)=±i√2

負の対数については、
整数n,虚数単位i,複素数w,ネイピア数e,円周率π,ガウス平面における偏角θ,自然対数log
とすると

オイラーの公式
e^(iθ)=cosθ+i sinθ
を対数の表記にすると
log w =log|w|+(θ+2nπ)i

たとえば、
w=-1なら、
オイラーの等式
e^(iπ)=-1
従って
θ=π
となるので、
log(-1) =log|-1|+(π+2nπ)i=0+π(1+2n)i
よって
log(-1)の解は、±πi,±3πi,±5πi,…と無限にあります。

ちなみに、虚数は、
「三次方程式の解を求める途中で√(-a)の項があっても、そのまま計算する」
と言う過程から考え出された概念です。

質問した人からのコメント

2012/3/8 18:21:14

降参 ご回答ありがとうございます!!

オイラーの公式、等式で自然対数をとることは、以前に考えてみたことがあります。
しかし、よく考えてみれば負の数だということに気づき、質問させていただきました。

大変感謝です。ためになりました!!!

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