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東北大2007年文系後期

it3********さん

2012/3/718:26:49

東北大2007年文系後期

xy平面の3点(0,0),(1,0),(0,1)を頂点とする三角形をAとし、3点(0,0),(b,0),(0,1)を頂点とする三角形をBとする。
点(a1,a2)がA内を動き、点(b1,b2)がB内を動くとき、(a1+b1,a2+b2)で表される点の全体をA+Bとかく。
(1)b=2のとき、A+Bの面積を求めよ。
(2)すべてのb>0に対して、√(|A+B|)≧√(|A|)+√(|B|)を示せ。
ただし、絶対値記号内はその領域の面積を表す。

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eve********さん

編集あり2012/3/1116:04:44

(1)
0≦a1≦1, 0≦b1≦2 において 0≦a2≦1-a1, 0≦b2≦1 - b1/2
x = a1 + b1 とおいて x を固定して考える。
0≦ a2+b2 ≦ 1-a1 + 1 - b1/2 = 2 - a1 - (x-a1)/2 = 2 - x/2 - a1/2
ここで、
0≦b1≦2 ⇔ 0 ≦ x-a1 ≦ 2 ⇔ x-2 ≦ a1 ≦ x
かつ、0≦a1≦1 より、x<2 において 0≦a1、2≦x において x-2≦a1 であるから、
x<2 のとき 0 ≦ a2+b2 ≦ 2 - x/2
2≦x のとき 0 ≦ a2+b2 ≦ 2 - x/2 - (x-2)/2 = 3 - x
よって、A+B は xy平面上において、0≦x, 0≦y, y≦2-x/2, y≦3-x で囲まれた部分
その面積は 7/2
(2)
0≦a1≦1, 0≦b1≦b において 0≦a2≦1-a1, 0≦b2≦1 - b1/b
x = a1 + b1 とおいて x を固定して考える。
0≦ a2+b2 ≦ 1-a1 + 1 - b1/b = 2 - a1 - (x-a1)/b = 2 - x/b + (1/b - 1)a1・・・①

1/b - 1 ≧ 0 のとき、即ち b ≦ 1 のとき)
①の右辺はa1が最大のとき最大値をとる。
0≦b1≦b ⇔ 0 ≦ x-a1 ≦ b ⇔ x-b ≦ a1 ≦ x
かつ、0≦a1≦1 より、x≦1 において a1≦x, 1<x のとき a1≦1 であるから
x≦1 において 0 ≦ a2+b2 ≦ 2 - x
1<x において 0 ≦ a2+b2 ≦ 1 + 1/b - x/b
よって、A+B は 0≦x, 0≦y, y≦2-x, y≦1+1/b-x/b で囲まれた部分であり、
|A+B| = (b+3)/2

1/b - 1 < 0 のとき、即ち b > 1 のとき)
①の右辺はa1が最小のとき最大値をとる。
0≦b1≦b ⇔ 0 ≦ x-a1 ≦ b ⇔ x-b ≦ a1 ≦ x
かつ、0≦a1≦1 より、x≦b において 0≦x, b<x のとき x-b≦a1 であるから
x≦b において 0 ≦ a2+b2 ≦ 2 - x/b
b<x において 0 ≦ a2+b2 ≦ 1+b-x
よって、A+B は 0≦x, 0≦y, y≦2-x/b, y≦1+b-x で囲まれた部分であり、
|A+B| = (3b+1)/2

√(|A+B|) ≧ √(|A|) + √(|B|) を示す。
|A| = 1/2, |B| = b/2
右辺^2 = 1/2 + b/2 + √b

0< b ≦ 1 のとき)
左辺^2 - 右辺^2 = 1 - √b ≧ 0
b > 1 のとき
左辺^2 - 右辺^2 = b - √b > 0
より、
任意の b>0 にて √(|A+B|) ≧ √(|A|) + √(|B|)

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