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1/(2coshx)の不定積分をcoshx/(2cosh^2x)=coshx/(2(1+sinh^2x))と変形してt=sinhx...

pro********さん

2012/3/913:27:14

1/(2coshx)の不定積分をcoshx/(2cosh^2x)=coshx/(2(1+sinh^2x))と変形してt=sinhxと置換しdt=coshxdxとして求めたら、1/2tan-1(sinhx)となったのですが、答えをみるとtan-1(e^x)となっていまし

た。どこに間違いがあるか教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

hin********さん

2012/3/916:02:46

積分定数の取り方で、形が変わっているだけで、どちらも正解です。

(1/2)arctan{sinh(x)} + π/4 = arctan(e^x) ・・・・・・・・・・☆

上式の関係が成り立ちますので、「答え」と質問者さんが求められたものの間には、ちょうど π/4 だけの差があります。
この差が積分定数によって吸収されているのです。

ちなみに、式☆は次のようにして導けます。

tan[ (1/2)arctan{sinh(x)} + π/4 ]
= tan[ (1/2)(arctan{sinh(x)}+π/2) ]
= (1-cos[arctan{sinh(x)+π/2}] )/sin[arctan{sinh(x)}+π/2]
(∵ tan(θ/2) = (1-cosθ)/sinθ )
= (1+sin[arctan{sinh(x)}]) / cos[arctan{sinh(x)}]
= {1+tanh(x)}/{1/cosh(x)}
= cosh(x)+sinh(x)
= e^x

∴ (1/2)arctan{sinh(x)} + π/4 = arctan(e^x)

積分定数の取り方で、形が変わっているだけで、どちらも正解です。

(1/2)arctan{sinh(x)} +...

質問した人からのコメント

2012/3/9 17:00:35

感謝 凄く丁寧な回答ありがとうございます おかげでスッキリしました

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