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m,nを自然数とするとき、m^3×n-m×n^3は6で割り切れることを証明せよ。 お願い...

red********さん

2012/4/2817:14:35

m,nを自然数とするとき、m^3×n-m×n^3は6で割り切れることを証明せよ。

お願いします!

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ベストアンサーに選ばれた回答

mie********さん

編集あり2012/4/2818:36:29

m^3×n-m×n^3
=m^3×n-mn-m×n^3+mn
=mn(m^2-1)-mn(n^2-1)
=n(m-1)m(m+1)-m(n-1)n(n+1)

連続する3つの整数の積は6の倍数だから
(m-1)m(m+1) と (n-1)n(n+1) は両者ともに6の倍数です。
したがって
n(m-1)m(m+1)-m(n-1)n(n+1)=m^3×n-m×n^3
は6の倍数です。

――――――――――――――――

上記の解法は非常にうまいのですがいつもこんなうまい解法を思い付くとは限りません。
うまい解法よりも他の方の答案のように多少手間がかかっても確実な解法を覚えるほうが役に立ちます。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

xxx********さん

2012/4/2817:32:10

Pとします。変形して
P=mn(m^2-n^2)
=mn(m+n)(m-n)
6の倍数であることを示すので
2の倍数かつ3の倍数であることを示せばOKです
mが偶数の時はPは偶数。nが偶数の時もPは偶数。
m,nが奇数のときはm+nは偶数となるのでPは偶数。
よってm,nが自然数のとき、Pは2の倍数である。
あとは3の倍数であることを示せば終わりです。
mまたはnが3の倍数の時は明らかにPは3の倍数なのでそれ以外を考えます。
3の倍数であるならば3kみたいに表せますので、3の倍数でない場合は
3k+1,3k+2などと表せます
3で割ったあまりについて、
mがあまり1、nがあまり1のときは m-nがあまり0(3の倍数)
mがあまり2、nがあまり2のときは m-nがあまり0(3の倍数)
mがあまり1、nがあまり2のときは m+nがあまり0(3の倍数)
mがあまり2、nがあまり1のときは m+nがあまり0(3の倍数)

よってPは3の倍数である。
2の倍数かつ3の倍数であることが示せたので6で割り切れる。

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