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自作問題VOLⅢ[面積]

ngc********さん

2012/6/219:31:12

自作問題VOLⅢ[面積]

小さい円は半径1
大きい円は半径3

Ⅰ.水色の面積を求めよ

Ⅱ.緑色の面積を求めよ



感想
難易度評価も

補足Ⅰ27arcsin((3√11-√3)/12)-(3√3/4+2π+9√11/4)≒5.3229・・・・

Ⅱ18arccos(√3/6)-27arcsin((3√11-√3)/12)-3√3/4+3√11/4≒3.824・・・・

になりました

半径,面積,ngc6217,正三角形,難易度評価,自作問題VOL,扇形

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ベストアンサーに選ばれた回答

mar********さん

2012/6/506:39:42

各コンポーネントをまず求める。
二つの円弧からなる大きい「緑と青を含む太った」部分をA
青の部分から正三角形を引いた一箇所の痩せた部分をB
青の部分の正三角形部分をC
中央の半径1の円の重なったうちのひとつの木の葉形状の部分をD
とする。
(1)A
半径3の円の扇形の部分から三角形を引いてAを求める。
これは、半径3の円の中心から√3/2以上の部分を切り取って2倍すればいい。
扇形から三角形を引けば簡単に計算できて
A=18acos(√3/6)-(3√11)/2=18.02822......
(2)B
これはやはり半径3の円に対してAと同じような操作で求めればいいのだが(2倍はしない)、切り取る点までの長さなどを事前に計算する必要がある。で、
x^2+y^2=9
y=√3(x-1)
を連立させてx=(3+√33)/4, y=√3{(-1+√33)/4}
と寸法が分かったので、Aと同様の方針で扇形と三角形の面積を計算して、その差を求めると、
B=9acos{(3+√33)/12}-(15√3+3√11)/8=2.29786.......
(3)C
上記からyが得られており、それは正三角形一辺の半分。で、
C=(√3/4)・(2y)^2=(√3)[√3{(-1+√33)/4}]^2={(3√3)/8}・(17-√33)=7.31062.....
(4)D
やはり扇形から三角形を引いて求めるが半径が1なうえに、角度がπ/6やπ/3などで、計算も簡単。
D=π/6-√3/4

以上から、中空部分は、半径1の円の面積がπなので、3つ引いて6Dを戻してやればいいから
青部分=C+3B-3π+6D=-(3/4)√3-(9/4)√11+27acos{(3+√33)/12}-2π=5.3229.....
緑部分=A-C-3B=18acos(√3/6)-27acos{(3+√33)/12}+(3/4)(√11-√3)=3.8240....

と出題者(ngc6217さん)の答えと一致。
感想:論理的にはそれほどの難問ではないと思うが、遅くまで仕事をして、夕食後に急いでやろうとすると、思ったより複雑で、ミスを連発。対称性の考慮とか、中心距離と半径の関係とか、考える要素が多々あって、非常にいい問題だったと思います。(回答がいままでないということは、そんなに易しくない問題と言えるかもしれません。)
ところで、このような美しいグラフ(図)を描いて色までつけられるソフト、、よかったら教えて頂きたく、、、何処かの有料ソフトでしょうか。それをJPEGで出力して添付すればいいんでしょうか。。。本当にきれいな図で、思考上これが非常に役立ちました。

質問した人からのコメント

2012/6/9 07:06:11

成功 どうもありがとうございます

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