nを2以上の整数とするとき、x^n -1を(n-1)^2で割った時の余りを求めよ。 という問題です。

補足

どういう手順を踏んだのか教えてください。

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※特にここになぜx=1を代入したのか?は、 左辺:x^n -1=1^n -1=1 -1=0, またx-1=1-1=0のため、 右辺:(x-1)^2Q(x)+ax+b=0^2×Q(1)+a×1+b=0+a+b=a+bとなるため、 ①がaとbの関係式で表現できるためです。 b=-aを①に代入すると x^n -1=(x-1)^2×Q(x)+ax-a x^n -1=(x-1)^2×Q(x)+a(x-1) 右辺から(x-1)を括りだすと x^n -1=(x-1){(x-1)Q(x)+a)} x^n -1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+・・・・+1)を使うのは、 右辺から(x-1)を括りだしたので、 左辺からも(x-1)が括り出すことができないのかということで、 持ち出した等式です。 (x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+・・・・+1)=(x-1){(x-1)Q(x)+a)} x^(n-1)+x^(n-2)+・・・・+1=(x-1)Q(x)+a 両辺にx=1を代入するのは、 1の累乗は1なので左辺は1の倍数になるし、 右辺はaのみになるためです。

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>nを2以上の整数とするとき、x^n -1を(n-1)^2で割った時の余りを求めよ。 文脈から考えて x^n -1を(x-1)^2で割った時の余りを求めよ。 ではないでしょうか。 >※特にここになぜx=1を代入したのか? 残念ながら私にも解りません。 余りを度外視した方程式(x-1)^2・Q(x)=0はたしかに解x=1を持ちますが、余りが確定しない段階でx=1を代入することが数学的に正しいかどうかは難しい問題です。 おそらく出典が紙数の関係で厳密な議論を省略したのでしょうか。