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AB>ACである△ABCの辺BC上の一点をPとすれば AB>APの証明をお願いします。

kiz********さん

2012/6/2215:56:35

AB>ACである△ABCの辺BC上の一点をPとすれば AB>APの証明をお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ken********さん

2012/6/2216:38:54

△ABC で
AB>AC ⇔ ∠C>∠B
が成り立つことはよいでしょうか。

もうひとつ,三角形の 2 つの内角の和はもうひとつの頂点の外角と等しいということを用います。

仮定により AB>AC なので ∠C>∠B です。
△APC の外角の関係から
∠APB=∠PAC+∠C>∠C
よって,∠APB>∠B なので △APB の 2 辺の長さについて,AB>AP が成り立ちます。

△ABC で 
AB>AC ⇔ ∠C>∠B 
が成り立つことはよいでしょうか。...

質問した人からのコメント

2012/6/24 18:04:29

ありがとうございます。迷いましたがこちらを採用させていただきました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kum********さん

2012/6/2216:19:27

Aから直線BCに下ろした垂線の足をHとする
AB^2=AH^2+BH^2
AP^2=AH^2+PH^2
AB^2-AP^2=BH^2-PH^2

∠ABCが鈍角の場合、
BH>PHは明らか
BH^2-PH^2>0
AB^2-AP^2>0
AB^2>AP^2
AB>AP

∠ABCが直角の場合
やはりBH>PHは明らか
よってAB>AP

∠ABCが鋭角の場合、
PがHよりB側にあるときはBH>PHは明らか
AB>AP
PがHよりC側にあるとき、AB>ACよりBH>CHとなり、CH>PHなので
BH>CH>PHとなり、
AB>AP

よって、
AB>AP

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