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行列の対角化

kas********さん

2012/7/3106:56:35

行列の対角化

(i)と(iii)を教えてください。
できれば途中式と解答をお願いします。
よろしくお願いしますm(_ _)m

x1 x2 x3,対角化,x1-x3,解答,x1+x2+x3,行列,途中式

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ベストアンサーに選ばれた回答

candy712さん

2012/7/3109:46:04

(i)2行2列が-1か-4かわからないので、-4としてやってみます。
A=
(1 .....0)
(-4 ..-1)

|1-λ .....0|=0
|-4 ...-1-λ|
-1+λ-λ+λ²=0
λ²-1=0
(λ+1)(λ-1)=0
λ=-1、1
λ=-1の場合
2x1+0x2=0
-4x1+0x2=0
x2=1のとき
2x1=0
x1=0
X=x2(0)
...…..(1)

λ=1の場合
0x1+0x2=0
-4x1-2x2=0
x2=-2とすると
-4x1=-4
x1=1
X=x2(1)
....….(-2)

P=
(0 ....1)
(1 ...-2)
Pˉ¹=
(2... 1)
(1... 0)

D=Pˉ¹AP=
(-1 ...0)
(0 ....1)

(iii)
A=
(1... -1... -1)
(-1 ...1... -1)
(1 ....1.....3)

|A-λI|=0
|1-λ.... -1...... -1|=0
|-1..... 1-λ... ..-1|
|1 ........1.... 3-λ|.....3行+2行

|1-λ .....-1.... ..-1|=0…3列-2列
|-1...... 1-λ .....-1|
|0 .......2-λ... 2-λ|

|1-λ.... -1.... ......0|=0
|-1...... 1-λ... -2+λ|
|0 ........2-λ .......0|

-(2-λ)
|1-λ........ 0|=0
|-1 .....-2+λ|

-(λ-2)²(λ-1)=0
λ=1、2(重根)
λ=1の場合
0x1-x2-x3=0
-x1+0x2-x3=0
x1+x2+2x3=0
x2=1のとき
-x1-x3=0
+)x1+2x3=-1
....x3=-1
-x1=-1
x1=1
X=x2(1)
........(1)
.......(-1)

λ=2の場合
-x1-x2-x3=0
-x1-x2-x3=0
x1+x2+x3=0
x2=0とすると
-x1-x3=0
x3=-1ならば
-x1=-1
x1=1
X=x2(1)
.........(0)
........(-1)

λ=2の場合
-x1-x2-x3=0
-x1-x2-x3=0
x1+x2+x3=0
x3=0とすると
-x1-x2=0
x2=-1ならば
-x1=-1
x1=1
X=x2(1)
........(-1)
.........(0)

P=(1.... 1... ..1)
....(1 .....0... -1)
....(-1... -1.... 0)
D=Pˉ¹AP=
(1... ..1 ....1)(1... .-1 ...-1)(1..... 1... .1)
(-1... -1 ...-2)(-1... 1 ...-1)(1... ..0 ...-1)
(1.... .0.... 1)(1.... .1 ....3)(-1... -1 ....0)
=
(1... 0... 0)
(0... 2... 0)
(0... 0... 2)

質問した人からのコメント

2012/8/1 06:47:15

成功 途中式長いのにありがとうございます!!
またよろしくお願いします!

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