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三角比と二次方程式の問題です。分からないので教えて頂けると幸いです。 (1) ...

cre********さん

2012/8/2511:44:31

三角比と二次方程式の問題です。分からないので教えて頂けると幸いです。

(1)
△ABCにおいて、AB=AC=4√3,A=30°のとき、tanCの値を求めよ。

(2)
qを0でない実数とし、2つの二次方程式x2ー

3qx-6q=0とqx2ーx+2q=0が共通解をもつとき、qの値を求めよ。(x2は二乗の意味です。)

よろしくお願いします。

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ten********さん

2012/8/2703:31:09

(1)
△ABCにおいて、AB=AC=4√3,A=30°のとき、tanCの値を求めよ。
[解]
①余弦定理を用いてBCをもとめる
②余弦定理を用いてcosCを求める
③三角比の相互関係を用いてtanCを求める

以上で求まります。
[別解]
①BからACへ垂線BDをひく
②⊿ABDは2:1:√3の三角形になっているので
BD = 2√3, AD = 6→DC = 4√3 - 6
③⊿BCDにおいてtanC = BD/DCで求まる。
こちらの方が視覚的に簡単です。好きな方で解いてください。
****************************
(2)※質問者さんが高校1年生だった場合、この解答は理解できません。
高校2年の『複素数と方程式』を履修していたならば理解可能です。
qを0でない実数とし、2つの二次方程式

x²ー 3qx-6q = 0 ・・・①
qx²ーx+2q = 0 ・・・②

が共通解をもつとき、qの値を求めよ。
[解]

①、②の共通解を α とおく。

α²ー 3qα-6q = 0 ・・・①'
qα²ーα+2q = 0 ・・・②'

①' + ②' × 3より
( 3q + 1 )α² - (3q + 3)α = 0
{ ( 3q + 1 )α - (3q + 3) }α = 0
これより
( 3q + 1 )α - (3q + 3) = 0 または α = 0

(Ⅰ)( 3q + 1 )α - (3q + 3) = 0のとき

・・・(ⅰ)q ≠ -1/3 のとき
α = (3q + 3) / (3q + 1)
・・・(ⅱ)q = -1/3のとき
( 3q + 1 )α - (3q + 3)
= 0 ×α - 2
= -2 ≠ 0
より不適。
したがって、(ⅰ), (ⅱ)より
α = (3q + 3) / (3q + 1) (q ≠ -1/3 のとき)

これをα²ー 3qα-6q = 0 ・・・①'に代入すると

{ (3q + 3) / (3q + 1) }²ー 3q(3q + 3) / (3q + 1)-6q = 0
(3q + 3)²ー 9q(q + 1)(3q + 1)-6q(3q + 1) ² = 0
両辺を3で割ると
3(q + 1)² - 3q(q + 1)(3q + 1) - 2q(3q + 1) ² = 0
展開して整理すると

27q³ + 21q - q - 3 = 0

因数定理と組立除法により因数分解すると

(3q - 1)(9q² + q + 3) = 0

9q² + q + 3 = 0 は実数解をもたないので

q = 1/3 (q ≠ -1/3に適する)

※α = (3q + 3) / (3q + 1)に代入すると
α = 4 / 2 = 2となります。

(Ⅱ)α = 0 のとき

α²ー 3qα-6q = 0 ・・・①'
qα²ーα+2q = 0 ・・・②'
に代入すると
どちらを解いてもq = 0
ただし、q ≠0 と問題にあるので不適。

以上(Ⅰ),(Ⅱ)より
q = 1/3 ・・・(答)

***************************
q = 1/3のとき①、②は

x² - x - 2 = 0
x² - 3x + 2 = 0
となり
(x - 2)(x + 1) = 0
(x - 2)(x - 1) = 0

共通解 x = 2を持ちます。

***************************
高校1年生用の解答が存在するかもしれませんが、
現時点では分かりませんでした。答えは合っていると思いますので
参考にしてみて下さい。m(__)m

以上です。頑張ってください。

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