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平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点Oを通り、BDに垂直に引いた直線が辺BC,DAと...

kou********さん

2012/8/2822:20:09

平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点Oを通り、BDに垂直に引いた直線が辺BC,DAと交わる点をそれぞれE,Fとする。このとき四角形BEDFがひし形となることを証明せよ。という問題の答えが分かりません。教えて下さい。

補足今日中にお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

zet********さん

編集あり2012/8/2900:01:40

平行四辺形において対角線が直交していればこの平行四辺形は菱形である…(*)
これを使って証明してみようね。まず縦長の平行四辺形を書いてみてね。
始めにBEDFが平行四辺形であることを示しましょう。
EはBC上、FはDA上の点だからBE〃DF…①
△OBEと△ODFにおいて
OB=OD
∠BOE=∠DOF=∠R
∠OBE=∠ODF(平行線ADとBC間の錯角)
一辺と両端の角が各々等しいから
△OBE≡△ODF
∴BE=DF…②
①②より
BEDFは平行四辺形…③
また仮定より
BEDFの対角線は直交…④
していたよね。
③④が言えるからには(*)より
BEDFは菱形であることを示しているよね。
(^_^)

質問した人からのコメント

2012/8/29 07:56:07

ありがとうございました

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kon********さん

2012/8/2823:08:49

一般的にはBC,DA上にはE,Fを取ることはできません。
BC,DAの延長上にというならわかります。
三角形OEBと三角形OFDの相似性と相似比
が1:1であることから合同であることがいえ
OE=OFがわかります。
DBとEFはそれぞれの中点で直角に交わる
線分ですので、それを対角線とする四角形は
菱形になります。(三角形AOD、AOB,
COB,CODはすべて二辺挟角で合同となるので)

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