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答えが必ず素数になる式はあるでしょうか??????

さん

2006/9/1901:50:45

答えが必ず素数になる式はあるでしょうか??????

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ベストアンサーに選ばれた回答

sta********さん

2006/9/1903:09:34

(1) 素数を表す多項式の存在(リンク1,素数生成式の項目)

この素数生成式はすべての素数を表すことが知られています。
但し素数を得るためには、複雑な条件を満たす目的の素数よりも大きな数を
扱わなければならず、有意に大きな素数を得る助けにはなっていません。

(2) ミルズ数(リンク2)

p = [ θ^(3^n) ] としたとき、すべての自然数 n に対して p が必ず素数と
なるような定数 θ が存在します。但し [] はガウスの記号。
θ の存在は知られており、 θ = 1.306377883863080690‥ はミルズ数と
呼ばれています。

この場合も目的の素数を得るためには、θ の小数点以下をどこまでも精密に
知っていなければならず、有意に大きな素数を得ることはできません。

(3) フォーチュン数(リンク3)

ある素数p 以下のすべての素数を掛けた数は素数階乗(primorial)と呼ばれ、
しばしば p# と書かれます。

人類学者であるレオ・フォーチュン氏は、素数階乗に1を加えた数、即ち

N = p# + 1

という数(合成数でも構わない)に対して N の次に現れる最小の素数を
P としたとき、P - p# で定義される数は常に素数であると示唆しています。

フォーチュン予想の一般的な証明はされていないものの、現在調査された
範囲では、この数はすべて素数であることが知られています。

この場合も素数である P - p# を得るためには、あらかじめそれより大きな
素数 P を知っていなければならず、機械的に大きな素数を次々と生産する
目的には使えそうにありません。

簡単な値を代入し、次々に大きな素数を得るための方法は昔から年月をかけて
検討されてきたものの、詰まるところ素数の定義と判定法に立ち返り、計算を
遂行する以外の方法はないと思われます。

検索しても見つからなかった一部分は英語サイトへのリンクを紹介しています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
http://mathworld.wolfram.com/MillsConstant.html
http://mathworld.wolfram.com/FortunatePrime.html

質問した人からのコメント

2006/9/19 16:19:46

ありがとうございました。はっきり言って私には難しいです。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kat********さん

2006/9/1902:17:10

p=(2×3×…×an)+1(但しanは2から数えてn番目の素数)
あるいは
p=(2×3×…×an)-1(但しanは2から数えてn番目の素数)
とかいかが?
そのほかにもメルセンヌ数とかフェルマー数とかあるようですが、これらは必ず素数になるわけではないようです(リンク先の素数生成式、および特殊な形をした素数参照)。
またx以下の素数の数はx/logxで近似できます(こちらもリンク先の素数の分布参照)。
x/logxは僕でも知っていたので覚えておいたら何かの役に立つかも知れません。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0

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