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y=x^(1/x)についてy”の求め方を教えてください

bb2********さん

2012/9/2003:43:38

y=x^(1/x)についてy”の求め方を教えてください

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bli********さん

2012/9/2004:29:54

こんばんは
微分ですね

y=x^(1/x)

両辺の対数を求めると
logy=logx/x
⇔xlogy=logx ・・・①

これをxで微分すると
logy+xy'/y=1/x

両辺にxyをかけると
xylogy+x^2y'=y

①より
ylogx+x^2y'=y
⇔x^2y'=y(1-logx) ・・・②

これをxで微分すると
2xy'+x^2y"=y'(1-logx)-y/x
⇔x^2y"=y'(1-2x-logx)-y/x
⇔x^4y"=x^2y'(1-2x-logx)-xy

②より
=y(1-logx)(1-2x-logx)-xy
=y{(1-logx)(1-2x-logx)-x}
=x^(1/x){1-3x-2logx+2xlogx+(logx)^2}

したがって
y"=x^(1/x){1-3x-2logx+2xlogx+(logx)^2}/x^4

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