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(a<b∧b<c)⇒a<cの証明

oda********さん

2012/10/201:08:01

(a<b∧b<c)⇒a<cの証明

実数a、b、cに対し(a<b∧b<c)⇒a<cが成り立つことを証明したいです。
証明に使える命題は、実数の集合が順序体であることと、任意の実数a、bに対し「a<b⇔a≦b∧a≠b」「a≦b⇔a<b∨a=b」「a=b⇔a≦b∧a≧b」「¬a≦b⇔a>b」「a<b、a>b、a=bのいずれか唯一つが成立」が成り立つことです。
回答お願いします。

補足回答ありがとうございました。(a<b∧b<c)⇒a<cについてはわかりました。

では、順序体の定義で∀a、b、c∈R、a≦b⇒a+c≦b+cというのが保証されていますが、∀a、b、c∈R、a=b⇒a+c=b+cとか∀a、b、c∈R、a=b⇒ac=bcについては何によって正当化されているんですか?実数が体(順序体)であることから証明できる気がしないのですが…

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aer********さん

編集あり2012/10/208:25:05

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E4%BD%93
によれば
①a≦b ならば a+c≦b+c は使ってもいいのかな

それなら
②a<b ならば a+c<b+c も使って良いでしょう。
(①及び与えられた道具を使えばすぐ示せるでしょう。)

そしたら
a=a+b-b<a+c-b<b+c-b=c
でいいんじゃないかな
--------------------------------
あるいは①だけを使って②を使わずにやる方法としては
a=a+b-b≦a+c-b≦b+c-b=c とa≦cを示しておいておいて、
a=cと仮定すると a<b かつ b<a が要求されてしまうので矛盾 とするのも良いですね


-----------------
一応できますね。

1番目:
a=b なら a≦b と a≧b が成り立つので
a+c≦b+c と a+c≧b+c より言えると思います

2番目:Wikipediaの a,b>0 ならばab>0 を使えば

c>0 の場合 [上記のa,bとして (b-a)c と 1/c で適用]

ac<bc ⇒ (b-a)c>0 ⇒ b-a>0 ⇒ a<b
ac>bc ⇒ (b-a)c<0 ⇒ b-a<0 ⇒ a>b

よってac≠bc ⇒ a≠b が言えた

c<0 の場合も少し変えれば同様
c=0 の場合は自明

こうやって示すものなのかは知らないけれど。

質問した人からのコメント

2012/10/4 03:48:58

降参 回答どうもありがとうございました。

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