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数学Ⅰの「 文字係数の不等式の解」 についての問題が分かりません。 関数f(x)=a...

gez********さん

2012/10/1619:05:56

数学Ⅰの「 文字係数の不等式の解」 についての問題が分かりません。

関数f(x)=ax^2-(a+1)x+1 とする。 ただし、aは定数とする。

(1) a=-3 のとき、f(x)≦0 を解け。

(2) f(x)≦0 を解け。

< 答え >

(1) x≦-三分の一,1≦x

(2) a<0のときx≦a分の1, 1≦x;
a=0のとき x≧1;
0<a<1のとき 1≦x≦a分の1;
a=1のとき x=1;
1<aのときa分の1≦x≦1

答えは分かっているのですが答えを導くまでの過程が分かりません。
できれば詳しい解答をお願いします。

画像は8の答えがこの問題の答えです。

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ベストアンサーに選ばれた回答

c_8********さん

2012/10/1620:32:16

最初にあらかじめ因数分解しておくのが良いでしょう.

f(x)=(ax-1)(x-1)
と因数分解できるので

(1)a=-3のとき
(-3x-1)(x-1)≦0
⇔(3x+1)(x-1)≧0

よって

x≦-1/3,x≧1…(答え)

(2)

f(x)≦0
を解くとき両辺をaで割って不等式の左辺が

(x - 1/a)(x-1)

となりますが,aの正負で不等号の向きが変わります.
さらにx=1/aがx=1より大きいか小さいかでも解が変わります.

またa=0のときはこの作業ができないので別扱いです.

以上を考えると

①1/a<1かつa<0⇔a<0のとき

不等式は両辺をaで割る際不等号の向きが変わって
(x - 1/a)(x-1)≧0
ゆえに
x≦1/a,x≧1

②a=0のとき
(ax-1)(x-1)≦0に直接代入して
-(x-1)≦0
⇔x≧1

③0<a<1のとき…1/a>1に必ずなる
よって

1≦x≦1/a

④a=1のとき
(x-1)²≦0
より
x=1

⑤a>1のとき…1/a<1に必ずなる
なので

1/a≦x≦1

以上から模範解答の通りになります.

質問した人からのコメント

2012/10/19 06:01:02

ありがとうございます!!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

hir********さん

2012/10/1620:34:12

ax^2-(a+1)x+1≦0 → (ax-1)(x-1)≦0
① a=0の時 x≧1
② a>0の時 a(x-1/a)(x-1)≦0 ここで問題は 1/a と 1との大小
α≦x≦β の形になるが どっちがαで どっちがβかわからないから 場合わけが必要になる。
・1/a=1の時(x-1)^2≦0 となるが(x-1)^2≧0 から (x-1)=0のみ成立
・1/a>1の時 1≦x≦1/a
・1/a<1の時 1/a≦x≦1
③ a<0の時 a(x-1/a)(x-1)≧0 となる 符号の向きが変わる 1/a<1だから 1≦x、x≦1/a

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