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大学への数学A 論理3 【式変形】 画像の3文字のドモルガンの法則の使い方と分配法...

adj********さん

2012/11/1214:09:11

大学への数学A 論理3
【式変形】
画像の3文字のドモルガンの法則の使い方と分配法則の使い方がよくわからないです。

補足説明ではA→●とおくと、のようにして導いていますが、●はどんな文字(?)でも置いてよいのですか。(例えばA→A∪Bなど)分配法則は置かなくても見た目から計算できそうな気がしますがどうでしょうか。3文字のドモルガンは毎回2文字のドモルガンから導くものなのですか。コツを教えて下さい。

ド・モルガン,分配法則,使い方,論理,変形,代わり,補集合

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ken********さん

編集あり2012/11/1311:43:24

ド・モルガンの法則は 2 つの集合についてのものです。
3 つの集合について考えるときも 2 つの集合の場合に帰着して考えます。

A の補集合を A の上に - を引いて表しますがここではその表記ができないので ¬A で代用します。
¬(A∩B)=¬A∪¬B がド・モルガンの法則のひとつの形です。
この式の A の代わりに A∩B,B の代わりに C とおいて
¬{(A∩B)∩C}=¬(A∩B)∪¬C
としたのがド・モルガンの法則の利用です。

次に,(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) が分配法則のひとつの形です。
これはベン図を書いてそれぞれがどの部分を表すかを考えて確認してください。
この式の A の代わりに ¬(A∩B),B の代わりに ¬C,C は C のままとして
{¬(A∩B)∪¬C}∩C={¬(A∩B)∩C}∪{¬C∩C}
となっています。

補足に
¬(A∩B)=(¬A)∪(¬B)
という式の A や B のところには集合を表すものであれはどんな文字でもはいれます。
だからこそ「法則」と言われます。
成り立つたり成り立たなかったりするのでは法則とは言えません。

3つの集合についてのド・モルガンの法則というのがあるとすれば
¬(A∪B∪C)=(¬A)∩(¬B)∩(¬C)
と,この式の∪と∩が全部反対になったものです。
A∪B∩C のように∪と∩が( )なしでつながったものは意味不明です。
数の四則計算の場合は乗除優先という決まりがあるから a+bc のような書き方が許されますが,集合の場合はだめです。
∪と∩が入り交じった場合の補集合は2つの集合についてのドモルガンの法則を繰り返し使って考えると思ってください。
分配法則はベン図を考えれば見た目のままだというのはその通りです。

質問した人からのコメント

2012/11/18 19:41:54

ありがとうございます!

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