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図形と方程式についての質問です

yor********さん

2013/1/2401:42:51

図形と方程式についての質問です

座標平面上に円C1:x^2+y^2-4ax-2(4a-3)y+16a^2-24a+9=0がある、ただし、a>0とする。
(1)a=5の時の円CをC1、a=pの時の円CをC2とする。C1とC2が外接するとき、pの値を求めよ
(2)aがa>0を満たして変化する。この時、すべての円Cに接する直線の方程式を求めよ。
という問題を教えてください。

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空中分解さん

2013/1/2712:42:38

問題文が変ですが
x^2 +y^2 -4ax -2(4a-3)y +16a^2 -24a +9 = 0
が円C であれば

x^2 -4ax +y^2 -2(4a-3)y +(4a -3)^2 = 0
(x -2a)^2 +{y -(4a -3)}^2 = 4a^2

なので円C は (2a, 4a -3) を中心とし半径 2a の円です。

(1)
a = p, q の時の中心間距離は
√{(2p -2q)^2 +((4p -3) -(4q -3))^2}
= √{20(p -q)^2}
= 2(√5)|p -q|

外接するということは、中心間距離が半径の和に等しいということなので
2(√5)|p -q| = 2p +2q
(√5)|p -q| = p +q

q = 5 の時
(√5)|p -5| = p +5
5 が多いので計算しやすいように
p = 5t とおくと
(√5)|5t -5| = 5t +5
(√5)|t -1| = t +1

5(t -1)^2 = (t +1)^2
5t^2 -10t +5 = t^2 +2t +1
4t^2 -12t +4 = 0
t^2 -3t +1 = 0
{t -(3/2)}^2 = 5/4
t = (3 ±√5)/2

p = 5t
= 5(3 ±√5)/2
※±どちらも p > 0 を満たしています。


(2)
中心から接線までの距離は半径に等しいです。
円C は (2a, 4a -3) を中心とし半径 2a の円なので、少なくとも常に y軸に接しています。
y 軸は共通接線の 1つです。

中心を通る直線は
y = 2x -3
y 軸との交点は (0, -3) です。
この直線に関して、どの円も線対称なので、 y軸を対称移動した直線がもう 1つの共通接線になります。

y軸以外の共通接線も (0, -3) を通るので
y = mx -3
とおくと、点と直線の距離の公式から
|2am -3 -(4a -3)|/√(1 +m^2) = 2a
|2a(m -2)| = 2a√(1 +m^2)
a > 0 なので
|m -2| = √(1 +m^2)
(m -2)^2 = 1 +m^2
m^2 -6m +4 = 1 +m^2
6m = 3
m = 1/2

つまり、全ての円に接する直線は
x = 0 (y軸)
y = (1/2)x -3
となります。

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