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中卒女子です(^o^)/ なんか、計算すごく時間かかってしまうんで、いい方法あった...

つけま☆もきゅもきゅ☆さん

2013/5/310:59:48

中卒女子です(^o^)/
なんか、計算すごく時間かかってしまうんで、いい方法あったら教えて下さい、ペコリ(^。^)

問題
離散的確率変数X,Yの確率分布をそれぞれ、以下とする。
f(x)=(1/2)^x

(x=1,2,…)
g(y)=2・(1/3)^y (y=1,2,…)

X,Yが、互いに独立であるとき、X+Yの原点のまわりの二次の積率は、いくらか?

答え15

って問題やったんだけど、わたしのやり方。
1...X,Yの積率母関数をそれぞれ求める。
2...それぞれの積率母関数を微分する。
3...Mx+y(t)を二回微分したものに、あてはめる。

みたいな、手順でやってたら、すごく時間かかるんですが、なんか、もっと、スパーンて答え出せるやり方ありますか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

sky********さん

2013/5/617:31:58

X Yが独立なんだったら、

Xの平均をMx, 分散をVx
Yの平均をMy, 分散をVy
とすると、
求める値は、Vx + Vy + (Mx+My)^2
で計算すればいい。

というはなしじゃないのか。

実際、
Σ[x=1,∞]Σ[y=1,∞] f(x)g(y)(x+y)^2
を求めたいだけなんでしょ?

= Σ[x=1,∞]f(x)x^2Σ[y=1,∞] g(y)(x^2+2xy+y^2)

= (Σ[x=1,∞]f(x)x^2)(Σ[y=1,∞] g(y))
+ 2(Σ[x=1,∞]f(x)x)(Σ[y=1,∞] g(y)y)
+ (Σ[x=1,∞]f(x))(Σ[y=1,∞] g(y)y^2)

= Σ[x=1,∞]f(x)x^2
+ 2(Σ[x=1,∞]f(x)x)(Σ[y=1,∞] g(y)y)
+ Σ[y=1,∞] g(y)y^2

= Σ[x=1,∞]f(x)(x-Mx)^2 + Mx^2
+ 2MxMy
+ Σ[x=1,∞]f(y)(y-My)^2 + My^2

= Vx + Vy + (Mx+My)^2

となるよね。こんな長たらしく書かなくても明らかだけど。

ちなみに、
Mx = 2, Vx=2
My = 3/2, Vy=3/4

だから、
Vx + Vy + (Mx+My)^2
= 2 + 3/4 + (2+3/2)^2
= 15
だけど?

質問した人からのコメント

2013/5/6 21:22:13

うわー、ありがと、ペコリ(^。^)
おばかなわたしに、
また、親切に、教えて下さって感謝ですぅー。
一生懸命勉強しまーす。(^o^)/

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