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率直に聞きます。 有理数とデデキントの切断によって円周率πを定義することは可...

cli********さん

2013/6/211:09:14

率直に聞きます。

有理数とデデキントの切断によって円周率πを定義することは可能ですか?

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338
回答数:
1

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ベストアンサーに選ばれた回答

ano********さん

2013/6/213:28:48

いまいち質問の意図がよくわからなくて、
外れた回答になっていたらごめんなさい。

デデキントの公理を認めることは、実数体のいくつかある等価な定義の1つを認める、
ということだと読みました。

円周率πは、実数列の収束が議論できる舞台を
与えてやれば、他に公理を増やさないで定義できると思います。

cos(x) = Σ_{k} (-1)^k x^(2k) / (2k)!

と定義して、cos(x)の、 0 より大きい最初の零点を x=π/2 とします。

高校で一般的な三角形の辺の長さの比(三角比)としてのcos(x) の定義だと、
幾何の公理を加えないといけなくなります。
そうしないと、三角形だの、辺の長さだのが定義できません。
円周の長さと直径の比で円周率を定義するのもしかりです。

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