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(1) 点(x,y)が√x+√y<1の範囲を動くとき、点(x+y,xy)の動く範囲を図示せよ (2) f...

eno********さん

2013/6/1520:50:19

(1) 点(x,y)が√x+√y<1の範囲を動くとき、点(x+y,xy)の動く範囲を図示せよ

(2) f(x)=(x+|x|)/2,g(x)=f(1+x)・f(1-x)とするとき定積分∫[2,-2]g(x)dxを求めよ

を経過付きで教えてください

!!

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mat********さん

2013/6/1523:25:02

(1)
u=x+y, v=xy
とする。
√x≧0、√y≧0 より、
√x+√y<1
⇔ (√x+√y)^2<1
⇔ x+y+2√xy<1
⇔ u+2√v<1
v≧0 より、0≦v<(1/4)(u-1)^2 … ①

平方根の値が実数として定義されるために、
x≧0、y≧0 が必要。
また、
√x<1-√y≦1 より、x<1
y についても同様に、y<1
∴ 0≦x<1、0≦y<1 … ☆

また、x,y は2次方程式
t^2-ut+v=0
を満たす。
☆より、この方程式の実数解は、ともに0以上1未満である。

判別式をDとすると、
D≧0 ⇔ u^2-4v≧0
v≦u^2/4 … ②

軸t=u/2 の位置について
0≦u/2<1 ⇔ 0≦u<2 … ③

方程式の左辺をf(t)とすると、
f(0)≧0 ⇔ v≧0 … ④
f(1)>0 ⇔ 1-u+v>0 … ⑤

(x+y,xy) は、u-v平面上の①~⑤の共通部分である領域上を動く。
(下図を参照してください)


(2)
x≧0 のとき |x|=x
x<0 のとき |x|=-x
より、
x≧0 のとき f(x)=x
x<0 のとき f(x)=0

また、
g(-x)=f{1+(-x)}・f{1-(-x)}
........=f(1-x)・f(1+x)
........=g(x)
より、g(x) は偶関数なので、
∫[-2,2]g(x)dx = 2∫[0,2]g(x)dx

したがって、[0,2] の範囲で考える。
上記の範囲で、1+x>0 なので、
f(1+x)=1+x

[0,1] のとき 1-x≧0 より、
f(1-x)=1-x
[1,2] のとき 1-x≦0 より、
f(1-x)=0

よって、[1,2] の範囲の定積分も0なので、
与式=2∫[0,1](1+x)(1-x)dx=4/3


a≦x≦b という区間は、[a,b] と書くので、
テキストで積分区間を書くときは、[下端、上端] の順に書きます。

(1)
u=x+y, v=xy
とする。
√x≧0、√y≧0 より、
√x+√y&lt;1
⇔...

質問した人からのコメント

2013/6/19 18:22:23

ありがとうございました!

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