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①円O1の半径Rを求めよ。 ②円O2の半径rを求めよ。 分かりやすく教え...

ges********さん

2013/6/2021:24:50

①円O1の半径Rを求めよ。

②円O2の半径rを求めよ。


分かりやすく教えてください。

補足下の大きい円がO1で、上の小さい円がO2です。



①√3-1/2 a

②√3-1/6 a

円O1,半径r,円O2,O1U,O1A,arr,BC-BS+CA-AS

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ベストアンサーに選ばれた回答

kum********さん

2013/6/2222:10:03

図は添付しないので、ちゃんと図を書いて考えてください。

円O1と、AB,BC,CAの接点を、S,T,U
円O2と、AB,BCの接点を、V,W、とする

△ABCは、30°60°90°の直角三角形なので、CA=aのとき、AB=2a,BC=√3a

∠BCA=90°で、O1T⊥BC、O1U⊥CA、なので、□O1TCUは正方形
よって、O1T=O1U=CT=CU=R

円O1は△ABCの内接円なので、
AU=AS,BS=BT,CT=CU

CT+CU=(BC-BT)+(CA-AU)=BC-BS+CA-AS=BC+CA-(BS+AS)=BC+CA-AB=√3a+a-2a=(√3-1)a
R=CT=CU=(√3-1)a/2

O1A^2=O1U^2+AU^2=R^2+(a-R)^2=((√3-1)a/2)^2+(a-(√3-1)a/2)^2
=((√3-1)a/2)^2+((2-(√3-1))a/2)^2=((√3-1)a/2)^2+((3-√3)a/2)^2
=(3-2√3+1+9-6√3+3)a^2/4=(16-8√3)a^2/4=(4-2√3)a^2
O1A=√(4-2√3)a=(√3-1)a

△O1AU∽△O2AWより
O1A:O1U=O2A:O2W
(√3-1)a:R=(√3-1)a-R-r:r
(√3-1)ar=R((√3-1)a-R-r)
(√3-1)ar=(√3-1)a/2*((√3-1)a-(√3-1)a/2-r)
(√3-1)ar=(√3-1)a/2*((√3-1)a/2-r)
r=1/2*((√3-1)a/2-r)
r=(√3-1)a/4-r/2
3r/2=(√3-1)a/4
r=(√3-1)a/6

質問した人からのコメント

2013/6/24 18:57:02

ありがとうございます

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