確率変数の分散についてです。
確率変数の分散についてです。 （証明問題） V（X＋Y）＝V（X）＋V（Y）の問題なんですが、自分は以下のように考えました。 V（X＋Y）＝V（X）＋V（Y）＋cov(X,Y) cov(X,Y)＝E[ ｛XーE（X）｝｛YーE（Y）｝ ] ＝E[ X・YーE（Y）・XーE（X）・Y＋E（X）E（Y）] ＝E（XY）ーE（Y）（X）ーE（X）E（Y）＋E（X）E（Y） ＝E（XY）ーE（Y）E（X） （定義よりE（XY）＝E（X）E（Y）より） ＝E（X）E（Y）ーE（Y）E（X） となりました。 この証明問題を解くためには、cov(X,Y)＝０にならないと成立しないと思います。 でも、参考書には、cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) =E(X)E(Y)-E(X)E(Y) =0 となっています。 E（XY）とE（YX）はE（XY）＝E（YX）と考えていいのでしょうか？ どなたか自分に教えていただけませんか？ よろしくお願いします。
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ベストアンサー
前提に確率変数XとYは独立であるとか、そんな記載はなかったか? XとY の相関係数ρ[XY]はρ[XY]=Cov(X,Y)/√(V(X)V(Y)) であり XとY が独立であることとρ[XY]=0が成り立つことは同値だから、 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 が成り立つこととXとY が独立であることは同値だ。 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)であることはあなたが計算したとおりである。 一般に、V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y) が成り立つ (あなたが提示した式は間違っている(係数が抜けている)) 最後に... 一次元の確率変数X, Yについて、 E(XY)=E(YX) は当然成り立つ。 確率変数も乗法の交換法則は成り立つからだ。 [scall5hiro]
質問者からのお礼コメント
係数が抜けていました！すいません！ なるほど！わかりました！ありがとうございます！
お礼日時：2013/7/9 16:34
