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◇コイン50枚◇ 微分方程式、大学の範囲になります。 解き方、過程から詳しく書い...

cat********さん

2013/7/2320:42:58

◇コイン50枚◇
微分方程式、大学の範囲になります。
解き方、過程から詳しく書いて教えてください。
ベストアンサーの方にコイン50枚お渡しします。
よろしくお願いします。

⑪a>0としてサイクロイド
x=a(θ+sinθ)
y=a( 1 -cosθ )
-π≦θ≦π
を考える.θ=0の点からθ=θ0の点までの弧の長さをl(θ0)とし,
z={ l(θ) 0≦θ≦π,-l(θ)-π≦θ≦0
により,曲線上の点の座標を定める.また,サイクロイドの上向き法線ベクトルとy軸正方向のなす角をφとする.
(1)zをθで表せ.
(2)φをθで表せ.
(3)y軸負方向の一様な重力を受けてサイクロイド上を運動する質点の運動方程式を求めよ.
(4)上記の運動の周期を求めよ.

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お礼:
50枚

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ベストアンサーに選ばれた回答

sch********さん

編集あり2013/7/2900:12:15

とても興味深い問題です。
アドバイスを受けながら完成しました。
通常のサイクロイド曲線は、
x=a(θ-sinθ)
y=a(1-cosθ)
ですが、

この問題は、

x=a(θ+sinθ)
y=a(1-cosθ )

通常のサイクロイド曲線を逆さにした放物線のような形ですね。

dx/dθ=a(1+cosθ)
dy/dθ=asinθ

dy/dx
=(dy/dθ)(dθ/dx)
=sinθ/(1+cosθ)

一般論
曲線の長さは微小部分Δsとすると、
(Δs)^2=(Δx)^2+(Δy)^2
が成り立つから
(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2
ds/dx=√(1+y'^2)
ds=√(1+y'^2)dx
s=∫√(1+y'^2)dx

y'がxの式で与えられていればもとまるはず。

この問題で
s=∫√(1+y'^2)dx
を求めたいが、y'はθの関数だから
dx=(dx/dθ)dθ
と変換して
dx=a(1+cosθ)dθ
√(1+y'^2)
=√[1+{sinθ/(1+cosθ)^2}]
を使って、
s=a√2∫√(1+cosθ)dθ

1+cosθ=2cos^2(θ/2)
だから、
s=a√(2∫√2cos(θ/2)dθ
=4a•sin(θ/2)
s=zで
z=4a•sin(θ/2)

(2)
法線ベクトルとy軸正方向のなす角をφとすれば、接線とx軸のなす角度もφとなる。
接線の傾きは、y'=tanφ
だから、
tanφ=y'
=sinθ/(1+cosθ)
=2sin(θ/2)cos(θ/2)/2cos^2(θ/2)
=tan(θ/2)

よってφ=θ/2
(3)
運転方程式(重力加速度gとすれば)
質点の位置は(x,y)=z
で、運転方程式は
F=md²z/dt²である。
質点にかかっている力は重力mgである。
質点は、軌道z上を接線方向に動いているので、
接線とx軸とのなす角度はφであるから、実際には重力はmgのsinφぶんだけ運転を妨げる方向に働いている。
すなわち、
-mgsinφだけの力が働いている。

よって運転方程式は
md²z/dt²=-mgsinφ

(1)より、z=4a•sin(θ/2)
(2)より、φ=θ/2
だったから、結局、運転方程式は、
d²z/dt²=-(g/4a)•z
になりました。

これは、単振動の運動方程式です。
g/(4a)=ω²とおくと

d²z/dt²=-ω²t
一般解は
y=Asin(ωt+B)
です。
三角関数の周期は、
sin(ω(t+T))=sinωt
sin(ωt+ωT)=sinωt
を満たすTである。
sinの周期は2πだから
ωT=2π
が成り立つ。
T=2π/ω
ω²=g/(4a)だったから
ω=(1/2)√(g/a)
よって、周期T=4π√(a/g)

質問した人からのコメント

2013/7/29 00:56:27

かなりめちゃくちゃなノートから詳しく解説頂き、感謝しきりです。
本当にありがとうございます。
試験が近いので、それまでに完璧に理解出来る様頑張ります。
他の問題でもたくさん手助け頂き、助かっています。
此れからもよろしくお願いします。

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