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ほとんど自由な電子モデルの定在波の波動関数について

fin********さん

2013/7/2813:57:21

ほとんど自由な電子モデルの定在波の波動関数について

ほとんど自由な電子モデルの定在波の波動関数は、2通りで、

Ψ(+) = A{exp(ikx)+exp(-ikx)}

Ψ(-) = A{exp(ikx)-exp(-ikx)}

ってなるみたいですが、この物理的意味が良く分かりません。

exp(ikx)っていうのは、右に進行する波で、波数が-kになれば、左に進行する波っていうことでしょうか?
それで、expの前の符号は、振幅を意味するんですよね。

Ψ(-)であれば、振幅が逆なので、打ち消しあって、波がなくなってしまいそうな感じがするのですが、
Ψ(+)の方は、振幅一緒なので、波が増幅しそうな気がするのですが。

それから、通常Aって、規格化されていますが、その計算って、∫|Ψ(+)|^2dx=1を計算すれば、いいんでしょうか?
その場合の積分範囲って、0からaですか?

補足複素数だから、振幅がなくなって0になるってことではないのですね?

ブラッグ反射があるから、定在波になるわけですよね。波が打ち消しあって。

波が打ち消しあうので、そもそも波は存在しなくなると思ってたのですが、そういうことじゃないのでしょうか?

ただ単に、ブリルアンゾーンの境界で、電子の速度は0になるので、振動はしているんだけども、

その場で振動しているだけで、ブリルアンゾーンにいる波数(エネルギー)をもった電子は、左にも右にも動けない

という解釈でよろしいでしょうか?

ちなみに、このブリルアンゾーンの定在波とバンドギャップってどういう関係があるんですか?

いまいち理解できないです。

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son********さん

編集あり2013/7/2823:53:19

電子の存在確率を与えるのは波動関数の絶対値二乗です。
ですから複素関数でも、その絶対値二乗は実関数になりますから電子の存在確率は0ではありません。

そもそも、定在波は波が打ち消しあっているのでありません。
互いに逆向きに進む二つの波が重なり合い形成された、どちらにも進まぬ波のことを定在波といいます。

参考URL
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E6%B3%A2
http://www38.tok2.com/home/shigaarch/PDF/ets2.pdf

********
三角関数表示すればわかります。

Ψ(+)=2Asin(kx)
Ψ(-)=2iAcos(kx)

波動関数は一般に複素関数ですから問題なし。

しかし、二式
exp(ikx)+exp(-ikx)
exp(ikx)-exp(-ikx)
は線形独立ですので、数学的には自然な表記です。だからこそ、波動関数はこの二式を基底として表現できます(波動関数はベクトルでもありますよね)。

x+yとx-yが線形独立(互いで互いを表現することは不可能)であるのと同じです。

質問した人からのコメント

2013/7/29 13:09:28

定在波がどういうものか分かりました。
ブラッグ反射についてネットとかで調べると、波が打ち消しあってブリルアンゾーンで、速度が0になるとか紛らわしい書き方で、書いてあったので、頭が混乱してしまいました。

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