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大学入試でロピタルの定理を使うと減点される場合があると聞きました。 高校の範...

sci********さん

2013/7/3106:25:42

大学入試でロピタルの定理を使うと減点される場合があると聞きました。
高校の範囲で証明出来ないからだそうですが、
別に数学的に正しいなら使ってもいい気がします。
何故ダメなのでしょうか?

補足回答ありがとうございます。

「使ってはならない」と明記するべきではありませんか?
問題には「~を証明せよ、求めよ」としか書かれていません。
問いを解けという記述しかなく、求め方に関してはほとんどの場合何も書かれていません。
数学的に正しいどのような方法で問題を解いても減点はできないと思います。

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回答数:
8

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ベストアンサーに選ばれた回答

fre********さん

2013/8/108:28:35

いや,正しければ何でも使っていいというのは必ずしも成り立ちはしません.
極端な例で行くと,
「三角関数の加法定理を証明せよ」という問いに対して
「三角関数の加法定理より明らか」と書いたら明らかに誤りです.

大学受験における数学の答案は,決して
論理的に誤りのない答案を書けば丸というものではありません.
問題作成者がどういう意図で問題を出したのかを理解しつつ,
その意図に沿った解答を作成することが要求されます.
どの程度まで詳しく書くべきかが問題により変わる,だから難しいのです.
たとえば普段三角関数の加法定理は証明なしで用いることができますが,
上記のような問題で,証明なしで用いると当然バツになります.

ロピタルの定理もそれと同じです.
たとえば「e^x/x→∞(x→∞)を示せ」という問題.
これはロピタルを使えば当たり前なんですが,
もしこの問題に対しロピタルを使えば僕は間違いなくバツにします.
ロピタルで,採点者の聞きたいことを,はしょっちゃったわけですから.

逆に,「e^x/x→∞(x→∞)」の事実がある一つの大問を解くための
「途中経過」のひとつとして位置している場合,
その証明にロピタルを用いてもバツにはならないと思います.


そもそも数学の答案に暗黙の了解なんかたくさんありますから,
いちいち使っていいルールをすべて明記することなどできません.
そこら辺は答案を書く上での「常識」が問われていると考えるべきです.

質問した人からのコメント

2013/8/4 20:59:37

たくさんの回答ありがとうございました。
どれもこれも納得のいく内容ばかりで、ベストアンサーをとても迷いました。
これから、数学の問題を解く時は、何が聞かれているのかを考えてみることにします。

ベストアンサー以外の回答

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zuz********さん

2013/8/214:49:30

使ってはいけないことはないと思いますが・・・

az1********さん

2013/8/108:33:45

scienncerさん

きちんと理解できてることなら何を使ってもかまいません。
目的に対して手段が非常識でないならという条件で。
ハエを1匹殺すのに機関銃を使ったりしなければOKです。

しかし大学入試(記述式)でロピタルの定理を使えば
比較的容易にできて、使わないとかなり難しいという
ような問題が出題される(された)ことがあるのかどうか
非常に疑問です。

担当者が問題を作って委員会で説明して模範解答
(もちろん高校の学習内容の範囲内)を示したときに
「ロピタルを使えば簡単にできるね」という意見が
でればボツになるか、誘導をつけることでロピタルを
使うやり方を排除するようにするかします。

そんな問題が出題されることはまずないはずです。
使うと決めておいても使わないと決めておいても
どちらでもいいです。

私大のマークシートのような問題なら出るかもしれません。
もちろんロピタルはどんどん使えばよい。
lim[x→0](e^x-1)/xやlim[x→1](x^5-1)/(x^3-1)程度の
問題にだって使ってもかまいません。
ロピタルなんか使わないで出せないと困るけど。

lin********さん

編集あり2013/7/3117:18:16

大学以降の数学は定義に始まり,定義から演繹的に導かれる命題を証明して定理や公式を導くのが主な勉強になります。

言い方を変えれば,何だか知らないが正しいらしい定理や公式を教科書から引っ張ってきて問題を解く,のは少なくとも大学以降の数学ではないということです。

大学入試は高校までに習った数学の知識を用いて解けるように出題されます。つまり定義から演繹的に導かれた定理や公式を用いて問題を解きます。定理や公式の知識(と導き方)は前提となります。

なのでその前提が崩れる(導き方を知らない可能性がある)定理や公式は使うべきではないということになります。

大学入試の出題者は答えを知っています。誰も知らない定理や公式を導かせているわけではありません。知りたいのは完全に理解し把握している定理や公式などの道具を正確に使えるかどうかであって,理解し把握しているかどうか不明の道具を闇雲に使うことではありません。

解き方も解も出題者は知っています。答えそのものには大した意味はないのです。

補足
何を使っても解けばいい,という発想の大学入試があってもいいですが,とんでもない入試になります。高校生が大学や大学院入試を先取りでやるようなことになり,意味のない詰め込み勉強が行われるだけでしょう。

数学的に正しいなら何を使ってもよいとなると学生は無制限に大量の定理や公式を覚える必要があります。全ての大学で習う定理や公式全部です。こうなると高校数学の意味自体がなくなります。偏微分(を使ったラグランジュ未定乗数法),や留数定理やら大量になります。

だから範囲も高校数学,定理や公式も使い方も高校数学の範囲内,という限定が必要になります。

自分に都合のよいところだけ考えると駄目。何故範囲が必要なのか考えないといけない。

また受験では高校(中学)までに教科書で習った知識の範囲内で,という分かりやすい前提があります

kyo********さん

編集あり2013/7/3116:39:59

そのあたりは、大学によって、判断が違い、減点しないところもあるそうです。

ただ、本当の問題は、個々の大学が、そういうことについて、一切明確な基準を示していない、という点で、

高校範囲を出ることを証明なしに使えば、減点する大学はあるだろうと考えられる以上は、

しかたがないので、高校や予備校では、安全策をとって、高校の範囲でやらない定理などは、
使わないように、と指導することになります。

高校範囲で考えると、微分の定義などに帰着させて解くような、
基本の部分を問う、極限のいい問題が、ロピタルの定理だと、
機械的な計算問題になってしまい、出題の先生の意図とは
異なってしまう、というか、数学の先生自体、そういうことを
面白いとは思わないものですし、

ロピタルの定理自体は認める大学でも、
極端な話、「~」という定理が存在するから云々、
と、あてずっぽうで書いておいて、実際あれば、
それ丸にする、というのは、さすがに認めがたい
ものがあるかと思います。

極端な話、
整数の問題で、整数・x,y,z にある条件があるときに、
x^3 + y^3 = z^3 となる、x,y,z は存在しないことを証明せよ、
というのを、フェルマー・ワイルズの定理より、と書いたら、
それはいくらなんでも反則になるでしょう。

自分でそれを全部読んで(ワイルズの証明だけでは、
証明になっていないので、それに至るまでの、
証明や予想の数々を一通りでないといけない訳ですし)
自分でも証明できる、という高校生には不当かも
しれませんが、そういう子なら、普通の証明もできて、
実際にそうするでしょうから、そんなことを書いて
済まそうというのは、自分で理解できなくても、
暗記してればOKという横着な奴のはずだから、
問題ありません(まぁ、そんなことを言い出すと、
公式や解法を丸暗記しているだけの奴は
減点しなくて、いいのか、って話になりますが^^)

質問者さんが、そういう横着さから質問しているのでありませんように^^

<<補足への回答>>

明記すべきだ、というのは、私も、上にも書いていますが、同感です。

ただ、結論は、ちょっと極論になるでしょう。

上の、フェルマー・ワイルズの定理絡みの話もそうですが、

英語で、どんなスラングや、地域・世代限定の言葉を使っても、構わない、
実際通じるんだから、OKでしょ、というのに、近いものがありますね^^

極限の証明でも、高校の極限の扱いは、いい加減で、証明になって
ないけど、それはそれで認めろ(実際に、細かく言えば、正しくはないけど、
認められている、)、その一方で、ロピタルの定理は、一律に認めろ、
というのは、それはそれで、ダブルスタンダードのような気もします。

wat********さん

編集あり2013/7/3117:53:22

大学の先生によると「わからずに使ってるのは解答見ればわかるから,そういうのはダメ」ってことらしいです。もちろん基準は大学によって違うでしょうけど。

補足:既に書いた通りです。わからずに使っているような答案は,見ればわかるので減点される(というか加点されない)だけの話です。

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