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ベクトル解析のこの問題わかりませんか?

lfc********さん

2007/6/3018:27:55

ベクトル解析のこの問題わかりませんか?

ベクトルp=(x,y,z)
p=√(x^2+y^2+z^2)



divベクトルp/pです。

=(∂/∂x)(x/p)+(∂/∂y)(y/p)+(∂/∂z)(x/z)
仮に、(∂/∂x)(x/p)だけ考えます。

=1/p(∂/∂x)(x)+x(∂/∂x)(1/p)
=1/p+x(∂/∂x)(1/p)

この第2項の計算がわかりません。
xに関する答えは
1/p+x(∂/∂x)(1/p)=p^2-x^2/p^3になるはずです。

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emi********さん

2007/6/3020:21:58

 平明に書きます。

(∂/∂x)(1/p)= =((∂/∂p)(1/p))・((∂/∂x)(p))
=((∂/∂p)(1/p))・((∂/∂x)(√(x^2+y^2+z^2))

= - 1/(p^2) ・ (1/2)(2x)/(√(x^2+y^2+z^2)
= - 1/(p^2) ・ (x/p)
 = - x/(p^3)
故に
 
1/p+x(∂/∂x)(1/p)=(p^2-x^2)/p^3

 注意: 右辺の分子で括弧 (・・・・・・・) を忘れない事!

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ikkyu sanさん

2007/6/3019:47:31

>(∂/∂x)(x/p)+(∂/∂y)(y/p)+(∂/∂z)(x/z)
これって何をやってるんですか?div(p/|p|)を求めるのでいいんですよね?zの項間違いかな?

とりあえず面倒なので∂x=∂/∂xの微分演算子だと思ってください。

∂x(1/|p|)= ∂x({x^2+y^2+z^2}^{-1/2})=-1/2 * 2x * {x^2+y^2+z^2}^{-3/2}=-x/|p|^3

となります。(xの偏微分なので,y,zは定数と見て構わない)

divergenceを取った結果は、
3/|p|-{x^2+y^2+z^2}/|p|^3 = 2/|p|

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cli********さん

編集あり2007/6/3019:45:07

まず、f(x)=1/√(x^2+k)=(x^2+k)^(-1/2), kは定数のとき
合成関数の微分として考える。
w=x^2+kとおくと
df(x)/dx=dw^(-1/2)/dw・dw/dx=(-1/2)・w^(-3/2)・2x=-x/{(x^2+k)√(x^2+k)}

したがって、xについての偏微分では、y^2+z^2は定数とみなして
x(∂/∂x)(1/p)
=x・-x/{(x^2+y^2+z^2)√(x^2+y^2+z^2)}
=-x^2/p^3
すると
1/p+x(∂/∂x)(1/p)
=(p^2-x^2)/p^3

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