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どうやっても微積分の問題が解けません(涙 よろしくお願いします。

ame********さん

2007/7/2203:51:16

どうやっても微積分の問題が解けません(涙
よろしくお願いします。

(1)lim[x→π/2] (tanx)^cosx
(2)次の関数をマクローリン展開せよ(x^2の項まで)
x/(e^x-1) (xが0以外のとき)
1 (xが0のとき)
(3)次の不等式を証明せよ(0<x<1)
sqrt((1-x)/(1+x))<log(1+x)/arcsinx<1

補足訂正
(1)は[x→π/2] でなくて[x→π/2-0]の左側極限でした。
申し訳ありません。

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vel********さん

2007/7/2315:59:35

1)L=lim[x→π/2-0] (tanx)^cosx
x=π/2-ε
L=lim[ε→0] [tan(π/2-ε)]^cos(π/2-ε)①
ここで
tan(π/2-ε)=cot(ε)]=cos(ε)/sin(ε)~1/ε
cos(π/2-ε)=sin(ε)~ε

これを用いると①式は
L=lim[ε→0] (1/ε)^ε=lim[ε→0] 1/(ε^ε)②

ここで
z=ε^ε③
とおけは
logz=εlogε、よって、z=e^{εlogε}④

ε=1/t、とおけば、
M=lim[ε→0]εlogε=lim[t→∞](-logt)/t⑤
分母分子が無限大になるので、分母分子を微分した値で置きかえられるので、⑤式は
M=lim[t→∞](-1/t)/1=0⑥
したがって④式は
z=e^0=1
したがって②式は
L=lim[x→π/2-0] (tanx)^cosx=lim[ε→0] 1/(ε^ε)=1

(2)次の関数をマクローリン展開せよ(x^2の項まで)
x/(e^x-1) (xが0以外のとき)
1 (xが0のとき)

e^x-1=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+・・・・-1

したがって
M(x)=x/(e^x-1)=1/[1+x/2+x^2/6+x^3/24+・・・]=1/(1+h)①
ここで
h=x/2+x^2/6+x^3/24+・・②
①式は
M(x)=1/(1+h)=1-h+h^2-h^3+・・・・・・③
③式に②式を代入すると

M(x)=x/(e^x-1)=1/(1+h)=1-(x/2+x^2/6+x^3/24+・・)
+(x/2+x^2/6+x^3/24+・・)^2
-(x/2+x^2/6+x^3/24+・・)^3+・・・・
=1-x/2+x^2/12-3x^3/8+・・・・・

またx=0では

M(0)=1

(3)次の不等式を証明せよ(0<x<1)
sqrt((1-x)/(1+x))<log(1+x)/arcsinx<1 ①

f(x)=arcsinx-log(1+x)②
とおく。
f(0)=0
f'(x)=1/√(1-x^2)-1/(1+x)=(2x^2+2x)/[(1+x)√(1-x^2)]>0
したがって①式は増加関数となるから
arcsinx>log(1+x)
これから
したがって
log(1+x)/arcsinx<1③
同様に
g(x)=√(1+x)log(1+x)-√(1+x)arcsinx ④
とおけば
g(0)=0
g'(x)=(1/2)[log(1+x)/√(1+x)+arcsinx/√(1-x)]>0
となるので④式のg(x)は増加関数
よって
①式が成立

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ベストアンサー以外の回答

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qed********さん

編集あり2007/7/2305:48:29

(1)lim[x→π/2-0] (tanx)^cosx ①
=lim[t→∞] t^{1/√(1+t^2)}
である。ここで、
lim[t→∞] log[t^{1/√(1+t^2)}] (←logは自然対数)
=lim[t→∞] (2logt)/(1+t^2)=0
ここでy=t^{1/√(1+t^2)}はt>0で連続だから、①=e^0=1

字数が長くなるので(2)以降はほかの人におまかせw

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