ここから本文です

数学を教えてください。 自然数nの一の位の数をf(n)で表す。例えばf(4...

ast********さん

2007/9/1920:56:19

数学を教えてください。

自然数nの一の位の数をf(n)で表す。例えばf(47)=7である。
(1)f(3^6)ーf(3)を求めよ。
(2)全ての自然数nに対して、f(n^5)-f(n)=0となることを

証明せよ

という問題なのですが、(1)は3の6乗をそのまま計算せずに、工夫する方法はないのでしょうか?
(2)はn^5-nが10の倍数であることを示したのですが、そこからどう説明してよいかわかりません。

閲覧数:
2,352
回答数:
4

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

weirdさん

編集あり2007/9/2600:12:25

1)規則性をみるとよろしいのでは??

3^1 →3 (1の位の値)
3^2 →9
3^3 →7
3^4 →1
3^5 →3
3^6 →9

今回は6乗でしたので直ぐに計算できましたが、
これが1000乗とかの大きな値の時は規則性を用いることが出来ます。
上記では、4の周期で1,3,9,7と変化しているので、

3^(4n)→1
3^(4n+1)=3^(4n)*3→3
3^(4n+2)=3^(4n)*9→9
3^(4n+3)=3^(4n)*27 →7

に当てはめればよいかと。

2)これも規則性ですね~
n^5はnの1の位のみに着目すれば良いから、

1^5 →1 (1の位の値)
2^5 →2
3^5 →3
4^5 →2^10→4
5^5 →5
6^5 →2^5*3^5→6
7^5 →9^2*7 (←1の位のみに着目してます) →7
8^5 →2^3^5 →2^10*2^5→8
9^5 →3^2^5→3^10→9

以上より、f(n^5)-f(n)=0が成立する。
※あんまり綺麗なやり方ではありませんが、たかだか9個なのでそのままやりました。

ちなみに、 daisy_peach_daisyさん とほぼ同じ内容で恐縮ですが、

10の倍数であることが分かっていれば、関数fは1の位にしか作用しないため、
f(n^5)-f(n)=f(n^5-n)=f(10*m)=0 (m=0,1,2,,,,,)
より示された。

で良いと思います。

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

ベストアンサー以外の回答

1〜3件/3件中

並び替え:回答日時の
新しい順
|古い順

編集あり2007/9/2008:24:46

いつも10進法を使っているので、かえって盲点になっているのでしょうか。
単に、10を法とした合同式を用いれば明確に記述できます。
 f(n)=m ⇔ n≡m (mod10) (0≦m≦9)
ということです。

(1)
3^6≡(3^2)^3≡9^3≡(-1)^3≡-1≡9 (mod10)
f(3^6)=9
∴f(3^6)-f(3)=9-3=6

(2)
n^5-n=10k (kは整数)までは示したということですので、その先だけ、、、
n^5-n=10k≡0 (mod10)
n^5≡n (mod10)
f(n^5)=f(n)
∴f(n^5)-f(n)=0

dai********さん

2007/9/1921:19:29

(1)は1の位のみ計算してはいけないのでしょうか?
 3^6=3^3x3^3=27x27
 7x7=49
で9-3=6
もしくは、このf(x)は結合・分配法則が成り立つのでf(x+y)=f(x)+f(y)
f(3^6)-f(3)=f(3^6-3) (結合法則が成立するため)
3^5x(3-1)=・・で1の位のみを計算する

(2)は10の倍数と示せば1の位は0ですよね?
「f(x)のxが10の倍数であるのでf(x)=0となる。」
でよいのでは?

tri********さん

2007/9/1921:17:00

(1) 筆算の要領で3を掛けていくと、1の位だけ考えていれば、いつか1の位が3に戻ることを示せばOKです。

(2) そこまでくれば、f(n)=f{n^5-(n^5-n)}=f(n^5+10x)=f(n^5) といえるのではないでしょうか。

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる