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公務員試験 都庁の問題。

yan********さん

2014/5/1118:04:29

公務員試験
都庁の問題。

教えてください。
先日の都庁の問題ですが、1問分からない問題があります。
解説も含め教えていただければうれしいです。

問題
正の整数A及びBがあり、Aは、Aを18、27、45で割るといずれも8余る数のうち
最も小さい数であり、またはBは、31、63、79をBで割るといずれも7余る数である。
AとBの差として正しいのはどれか。

1.180
2.210
3.240
4.270
5.300

お願いします。

閲覧数:
337
回答数:
1
お礼:
100枚

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ベストアンサーに選ばれた回答

nan********さん

2014/5/1120:43:53

うーん、30分以上考えていますが正解が選択肢にないように思えます。

一般にX、Y、Zが整数であることを前提とすると「XをYで割った余りがZである」ことは「X-ZがYで割り切れ、かつZは0以上Y未満である」ことと同じ(必要十分条件の関係にある)ことになります。

これを踏まえて、まずBから考えます。
「31、63、79をBで割るといずれも7余る」
⇔「24、56、72はいずれもBで割り切れ、かつ7は0以上B未満である」
⇔「Bは24、56、72の公約数で、かつBは7より大きい」
よって、24、56、72の最大公約数は8ですから、Bは8の約数でかつ7より大きいためBは8になります。

問題なのはAです。
「Aを18、27、45で割るといずれも8余る」
⇔「A-8は18、27、45のいずれでも割り切れる」
(8が0以上の数で18、27、45より小さいという条件もつきますが、これは常に成り立つため省略できます)
⇔「A-8は270(18、27、45の最小公倍数)で割り切れる」

Aはこのような数のうち、正の整数で最小のものだからAは270+8で278になります…というのが多分出題者の想定した解答なのでしょう。
しかし、よくよく考えると正の整数なのはAであってA-8ではなく、Aが8としても0は270で割り切れるため、「Aは正の整数で、Aを18、27、45で割るといずれも8余る」という条件をみたすこととなります。
Aはこの条件を満たす最小の数ですからAは278ではなく8になります。

しかし、そうするとAとBの差は0になってしまい選択肢にありません。
Aが278だった場合にはAとBの差が270となり4が正解になるのですが。

出題ミスか問題の写し間違いかはわかりませんが、問題に不備がないでしょうか?

質問した人からのコメント

2014/5/11 22:06:45

感謝 ありがとうございます!
4番の270が正解という情報がありましたので、ご回答頂いた内容で
間違いないと思います。
私もどこかしっくりいかないのですが、選択肢から選ぶなら270ということなのかも
しれません・・・。
本当にありがとうございました!!

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