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u=u(x,y,t) x=x(t),y=y(t)のとき、du/dtをもとめよ。 この問題がわかりません。ど...

kaz********さん

2007/10/1214:39:06

u=u(x,y,t) x=x(t),y=y(t)のとき、du/dtをもとめよ。
この問題がわかりません。どうかお願いします。

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2007/10/1216:12:55

du/dt=(∂u/∂x)(dx/dt)+(∂u/∂y)(dy/dt)+∂u/∂t

微分可能の定義に従って、
u(x,y,t)=u(x0,y0,t0)+α(x,y,t)(x-x0)+β(x,y,t)(y-y0)+γ(x,y,t)(t-t0)
x(t)=x(t0)+ξ(t)(t-t0)
y(t)=y(t0)+η(t)(t-t0)

u(x(t),y(t),t)=u(x(t0),y(t0),t)+α(x(t),y(t),t)ξ(t)(t-t0)+β(x(t),y(t),t)η(t)(t-t0)+γ(x(t),y(t),t)(t-t0)
φ(t)=u(x(t),y(t),t)とおくと

φ(t)-φ(t0)=αξ(t-t0)+βη(t-t0)+γ(t-t0)

du/dt_t=t0=φ'(t0)=lim_[t→t0] {φ(t)-φ(t0)}/(t-t0) =α(x(t0),y(t0),t0)ξ(t0)+β(x(t0),y(t0),t0)η(t0)+γ(to)
=(∂u/∂x)(dx/dt)+(∂u/∂y)(dy/dt)+(∂u/∂t)_t=t0

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cli********さん

編集あり2007/10/1221:18:48

まずは、uを独立した3変数の関数として表す。
u=u(x,y,z) , x=x(t) , y=y(t) , z=t
全微分を偏微分で表すと
du=∂u/∂x・dx + ∂u/∂y・dy + ∂u/∂z・dz
媒介変数tを使うと
du/dt=∂u/∂x・dx/dt + ∂u/∂y・dy/dt + ∂u/∂z・dz/dt
ここで、dz/dt=1を代入して
du/dt=∂u/∂x・dx/dt + ∂u/∂y・dy/dt + ∂u/∂z
zは勝手に導入した変数なので、偏導関数∂u/∂zのzをtに戻しておく必要があります。
du/dt=∂u/∂x・dx/dt + ∂u/∂y・dy/dt + ∂u/∂z(t)
ここで∂u/∂z(t)はuz(x,y,t)のことを意味します。
※∂u/∂z(t)は∂u/∂tとは違います。そもそもuはtの1変数関数になるので∂u/∂tという表現はおかしい。
たとえば、uz(x,y,z)=2xye^zのときは、∂u/∂z(t)=uz(x,y,t)=2xye^tとなります。

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