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添付のような2つの円の交わった部分の面積の求め方を教えて下さい。 ・2つの円...

we_********さん

2014/6/3016:58:35

添付のような2つの円の交わった部分の面積の求め方を教えて下さい。

・2つの円があり その一部が交わってる部分Sの面積を求めよ。

但し、円その1の半径はr1、円その2の半径はr2、2つの円の中心間距離はaとする。


宜しくお願い致します。

半径,求め方,面積,円,R1,r1cos,r2sin

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iey********さん

2014/7/114:52:01

左の円の中心をA、右の円の中心をB,2円の交点をC,D (上をC)とすると、
△ABCにおいて、AB=a,AC=r2,BC=r1であるから、
余弦定理より、cos∠BAC=(a^2+r2^2-r1^2)/(2ar2)
sin∠BAC=√{1-{(a^2+r2^2-r1^2)/(2ar2)}^2
={√(2r2^2r1^2+2a^2r1^2+2a^2r2^2-a^4-r2^4-r1^4)}/(2ar2)

同様に
余弦定理より、cos∠ABC=(a^2+r1^2-r2^2)/(2ar1)
sin∠ABC=√{1-{(a^2+r1^2-r2^2)/(2ar1)}^2
={√(2r1^2r2^2+2a^2r2^2+2a^2r1^2-a^4-r1^4-r2^4)}/(2ar1)

ABとCDの交点をOとする。AB⊥CDであるから
AO=r2cos∠CAO=r2cos∠BAC=r2(a^2+r2^2-r1^2)/(2ar2)
=(a^2+r2^2-r1^2)/(2a)
CO=r2sin∠CAO=r2sin∠BAC
=r2{√(2r2^2r1^2+2a^2r1^2+2a^2r2^2-a^4-r2^4-r1^4)}/(2ar2)
={√(2r2^2r1^2+2a^2r1^2+2a^2r2^2-a^4-r2^4-r1^4)}/(2a)

同様に
BO=r1cos∠CBO=r1cos∠ABC=r(a^2+r1^2-r2^2)/(2ar1)
=(a^2+r1^2-r2^2)/(2a)

また、∠BAC=cos^(-1){(a^2+r2^2-r1^2)/(2ar2)}
∠ABC=cos^(-1){(a^2+r1^2-r2^2)/(2ar1)}



したがって、
S=2r2^2∠BAC-2(1/2)AO・CO+2r1^2∠ABC-2(1/2)BO・CO
=2r2^2cos^(-1){(a^2+r2^2-r1^2)/(2ar2)}
-(a^2+r2^2-r1^2)/(2a)・{(2r2^2r1^2+2a^2r1^2+2a^2r2^2-a^4-r2^4-r1^4)}/(2a)
+2r1^2cos^(-1){(a^2+r1^2-r2^2)/(2ar1)}
-(a^2+r1^2-r2^2)/(2a)・
{√(2r2^2r1^2+2a^2r1^2+2a^2r2^2-a^4-r2^4-r1^4)}/(2a)}

質問した人からのコメント

2014/7/1 15:12:53

ありがとうございます。
というか、自分の頭では理解不能です。。。。
中学時代からの難問でした。
ちなみの、この問題のレベルとしてはどの程度なのでしょうか?理系大学入試レベル?

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