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y=x^xを対数微分法で微分すると、 y'=x^x(logx+1) となり、 さらにy''を対数...

mil********さん

2014/8/200:42:34

y=x^xを対数微分法で微分すると、
y'=x^x(logx+1)
となり、

さらにy''を対数微分法で求めるとき、
真数>0よりx≠1/eとして、

log|y'|=logx^x|logx+1|=xlogx+log|logx+1|
・・・
と計算していくので、
対数微分法で得られたy''はx≠1/eで成り立つ式と考えなければならないのでしょうか?

補足対数微分法でもcharlie04hfさんと同じ答えが得られるのですが、
x=1/eのときにも成り立つことはどうやって示せばいいのでしょうか?

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cha********さん

2014/8/200:49:42

milkysapuriさん

y = x^x の微分は得られているので、対数微分法を用いなくても
関数の積の微分を応用して
y'' = { x^x ( 1 + log x ) }' = ( x^x )' ( 1 + log x ) + ( x^x ) ( 1 + log x )'
= x^x・( 1 + log x )^2 + x^x ・ 1/x = x^x { 1/x + ( 1 + log x )^2 }
とすれば、余計な真数条件を考える必要はありません。

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