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金融工学に関する質問

vainqueurshigeru@yahoo.co.jpさん

2007/11/518:34:50

金融工学に関する質問

プット・コール・パリティのC=P+S-K/(1+r)をSで偏微分することで、コールオプションのデルタとプットオプションのデルタの関係が⊿c=⊿p+1になるそうですが、いまいち分かりません。
良かったら、ご教授してください。

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tok********さん

2007/11/1116:47:49

▼プット・コール・パリティの関係式について
プット・コール・パリティというのは、
 C:ヨーロピアン・コールの価格
 P:ヨーロピアン・プットの価格 (以下「ヨーロピアン」を省略します。)
 t:コールとプットの同じオプション期間
 K:コールとプットの同じ行使価格
 S:コールとプットの同じ原資産の価格
 r:期間tの金利
の間に常に成り立つ関係式で、多少の理想的な仮定は必要ですが金融工学の中では比較的実際的なものです。
式自体は質問で書かれているものは少し変で、下のように修正が必要です(「r」でなく「r×t」です)。
 C=P+S-K/(1+r・t)
つまり、今単位量のコールを買うポートフォリオ(A)と、単位量のプットを買って、単位量の原資産を買って、
金利rでK/(1+r・t)の借入をするポートフォリオ(B)の価値は同じであるということを意味しています。
これは、
 ・二つのポートフォリオ(A)と(B)が、満期時tにどのような状態(原資産価格)になっていても両者は必ず同じ価値になっていること、および
 ・無裁定原理
から導かれるもので、特に計算などしなくてもよく考えれば理解できる式です。

▼デルタ、偏微分について
Sが変化するとオプション価格(CやP)は変化します。
デルタというのは、S以外の変数(金利、ボラティリティ、行使価格など)が変化せずSだけが変化したと仮定した場合の、Sの変化に対するオプションの変化の比率です。
「S以外の変数(金利、ボラティリティ、行使価格など)が変化せずSだけが変化したと仮定した場合の、Sの変化に対するオプション価格の変化の比率」
というのを数学用語で「オプション価格のSでの偏微分」といいます。偏微分は大学の数学で学びます。

▼ここでプット・コール・パリティ関係式を偏微分してみましょう。
 Cの偏微分は、コールのデルタなので 「⊿c」
 Pの偏微分は、プットのデルタなので 「⊿p」
 Sの偏微分は、「1」 (自分自身で偏微分すると必ず1になるのが偏微分のルールです)
 K/(1+r・t)の偏微分は、「0」 (Sに関係ないものをSで偏微分すると0になるのが偏微分のルールです)
ですから、それぞれプット・コール・パリティ関係式に当てはめると、
 ⊿c=⊿p+1
となります。
たとえばコールのデルタが30%なら、プットのデルタは-70%です。普通の会話や文章ではわざわざプットのデルタをマイナスで言ったり書いたりはしませんが、
このようにプットのデルタをマイナスに定義しておくと、オプションを含むポートフォリオの管理に便利です。

※1 上の方はBS式から⊿c=⊿p+1を出していますがこれは筋違いです。
BS式は、プット・コール・パリティ関係式を満たすように求められたいろいろなオプション価格公式の中の一つに過ぎず(一番有名であるというだけ)、
プット・コール・パリティ関係式の方がより基本的でより広範囲で成立するべきものだからです。BS式を前提にしては本末転倒というものです。

※2 「いまいち分かりません」では何が分からないか分かりません。
自分がどこまで分かっていてどこが分からないかをよく考えて書いてもらえれば、回答者もより的確で詳細な回答ができます。
それも書けないようなら、せめてどういう状況で勉強しているのか(大学で金融工学を学んでいるとか、
教えてくれる人がいないい中で本やNETを読んで独学しているとか、どの資料で勉強しているとか...)でも書いてください。
ついでですが、自分が何が分からないのかをしっかり特定する作業を怠っていてはいつまでたっても学ぶ力はつきません。「いまいち分かりません」は止めましょう。

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